Enunciados propuestos (XXIV)

¡Piratas! ¡Arrr!

Fotografía de J. Berengar Sölter, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1:

  • (a) Dados dos números $x$ e $y$, coprimos entre sí, prueba que $mcd(x+y, xy) = 1$.
  • (b) Dados dos números enteros $a$ y $b$, prueba que $mcd(a,b) = mcd(a+b, mcm(a, b))$.
  • (c) La suma de dos números naturales es $5264$ y su mínimo común múltiplo es $200340$, ¿cuáles son estos números?

Ejercicio 2:

  • (a) Estudia, según los valores del número natural $n$, el resto de la división de $7^n$ entre $9$.
  • (b) ¿Para qué valores de $n$ se cumple que $16^{3n} + 16^n - 2$ es múltiplo de $9$?
  • (c) Permutando las cifras del número $1223334444555556666667777777$, ¿podrá obtenerse un cuadrado perfecto?

Ejercicio 3: Halla los números enteros positivos $n$ tal que $n^4+2$ es divisible por $n+2$.


Ejercicio 4: Determina todos los valores de $k$ para los cuales el número $11\cdots 11$, compuesto por $k$ unos, es un cuadrado perfecto.


Ejercicio 5: Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de $3$ sobran $2$ y haciendo grupos de $4$ sobran $3$. Halla el número de manzanas que contiene el cesto sabiendo que están entre $100$ y $110$.


Ejercicio 6: A una isla llegan $17$ piratas para repartirse un botín que consiste en un saco con más de $100$ monedas de oro. Efectuado el reparto equitativo, sobra una moneda. Con el objetivo de que no sobre ninguna, los piratas deciden matar a uno de ellos y efectuar nuevamente el reparto equitativo, pero vuelve a sobrar una moneda.

  • (a) ¿Cuál es el número mínimo de monedas que contiene el saco?
  • (b) Conocido dicho número mínimo, ¿cuántos piratas morirán hasta que, efectuado el reparto equitativo, no sobre ninguna moneda?

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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