Enunciados propuestos (XVII)

Retomamos algunos ejercicios de divisibilidad

Fotografía de Gloria Madroñal, disponible en Instagram.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Prueba que

$$ A_k = 2^{2^{6k+2}}+3 $$

es múltiplo de $19$, para todo número natural $k$.


Ejercicio 2: Demuestra que el número $n(n^2 + 5)$ es divisible por $6$, para cada número natural $n$.


Ejercicio 3: Encuentra, en el sistema decimal, todos los números que en base $7$ se escriben con tres cifras y en base $9$ con las mismas cifras en orden inverso.


Ejercicio 4: ¿Qué enteros positivos, menores que $15$, tienen inverso módulo $15$? Encuentra los correspondientes inversos.


Ejercicio 5: Demuestra que $n^5 - 5n^3 + 4n$ es múltiplo de $120$, para cada número natural $n$.


Ejercicio 6: Si $a=11\cdots 11$ es un número con $2n$ dígitos y $b=22\cdots 22$ es uno que posee $n$ dígitos, prueba que $a-b$ es un cuadrado perfecto.


Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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