Enunciados propuestos (IV)

Repasando las propiedades del máximo común divisor

Fotografía de Benjamin Raffetseder, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: En un sistema de numeración, cuya base se desconoce, dos números se escriben $302$ y $402$. El producto de ambos números es $75583$ en el sistema de numeración en base $9$. Halla la base desconocida.


Ejercicio 2: Determina todos los números naturales $m$ tales que $1066\equiv 1776\pmod{m}$.


Ejercicio 3: Dado $(1! + 2! + \cdots + 100!)\pmod{45}$, encuentra el menor resto no negativo.


Ejercicio 4: Sea $n$ un número natural y $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n}$.

  • (a) Demuestra que $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{2}$.
  • (b) ¿Para qué valores de $n$ es $A_n$ múltiplo de $7$?
  • (c) Los números, en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

Ejercicio 5: Determina todos los pares de números naturales $(a,b)$ tales que $mcd(a,b) = 18$ y $mcm(a,b) = 540$.


Ejercicio 6: Halla dos números naturales sabiendo que su máximo común divisor es $120$ y la diferencia de sus cuadrados asciende a $345600$.


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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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