Repasando ecuaciones en diferencias lineales (I)

Problema 12

Fotografía de Mitchell Henderson, disponible en Unsplash.

Problema 12: Resuelve

  • (a) $a_{n+3} - 3a_{n+2} - 4a_{n+1} + 12a_n = 0$.
  • (b) $a_{n+3} - 4a_{n+2} + 5a_{n+1} - 2a_n = 0$.

En el apartado (a), encontramos la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden 3 dada por $a_{n+3} - 3a_{n+2} - 4a_{n+1} + 12a_n = 0$, cuya ecuación característica asociada es

$$ \lambda^3-3\lambda^2-4\lambda+12=0. $$

Ahora bien, como $\lambda^3 - 3\lambda^2 - 4\lambda + 12 = (\lambda - 3)(\lambda - 2)(\lambda + 2)$, estamos ante el caso de raíces reales simples, de manera que la solución queda

$$ a_h(n) = c_1(-2)^n + c_22^n + c_33^n, $$

con $c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$.

Para el apartado (b), $a_{n+3} - 4a_{n+2} + 5a_{n+1} - 2a_n = 0$ es homogénea de orden 3, con ecuación característica

$$ \lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2 = 0. $$

Como $\lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1)^2$, $\lambda=1$ es una raíz real de multiplicidad $m=2$, mientras que $\lambda=2$ es una raíz real simple, por lo que la solución queda

$$ a_h(n) = c_11^n + c_2n1^n + c_32^n = c_1+c_2n+c_32^n, $$

con $c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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