Repasando ecuaciones en diferencias lineales (II)

Problema 13

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Problema 13: Resuelve

  • (a) $a_{n+3} - 3a_{n+2} + 4a_{n+1} - 12a_n = 0$.
  • (b) $a_{n+4} + 2a_{n+2} + a_n = 0$.

En el apartado (a), $a_{n+3} - 3a_{n+2} + 4a_{n+1} - 12a_n = 0$ es una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden 3, que tiene por ecuación característica

$$ \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda - 12 = 0. $$

Ahora bien, como $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda - 12 = (\lambda - 3)(\lambda - 2i)(\lambda + 2i)$, tenemos una raíz real simple y dos raíces complejas conjugadas simples, para las que $\varrho = 2$ y $\theta = \pi/2$, de manera que la solución queda

$$ a_h(n) = c_13^n + 2^n\left(A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right), $$

con $c_1, A, B\in\mathbb{R}$.

A continuación, en el apartado (b), $a_{n+4} + 2a_{n+2} + a_n = 0$ es homogénea de orden 4, con ecuación característica

$$ \lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 = 0. $$

Esta ecuación bicuadrada en $\lambda$ la podemos resolver mediante el cambio de variable $t = \lambda^2$, de forma que la ecuación queda como $t^2+2t+1=0$ y posee $t=-1$ como raíz real de multiplicidad $m=2$, es decir,

$$ t^2+2t+1 = (t+1)^2. $$

Así, si deshacemos ahora el cambio de variable, resulta que

$$ \lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 = (\lambda - i)^2(\lambda + i)^2, $$

con lo cual tenemos dos raíces complejas conjugadas de multiplicidad $m=2$, para las que $\varrho=1$ y $\theta = \pi/2$, por lo que la solución queda

$$ \begin{aligned} a_h(n) &= 1^n\left( (An+B)cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + (Cn+D)\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} \right)\\ &= (An+B)cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + (Cn+D)\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, \end{aligned} $$

con $A,B,C,D\in\mathbb{R}$.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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