Repasando ecuaciones en diferencias lineales (III)

Problema 14

Fotografía de David Werbrouck, disponible en Unsplash.

Problema 14: Resuelve

  • (a) $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n = 10$.
  • (b) $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 4$.

En el apartado (a), encontramos la ecuación en diferencias lineal completa de orden 2,

$$ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n = 10. $$

Empecemos abordando su ecuación en diferencias lineal homogénea asociada,

$$ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n = 0, $$

cuya ecuación característica correspondiente es

$$ \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0. $$

Ahora, como $\lambda^2 - 5\lambda + 6=(\lambda - 3)(\lambda - 2)$, estamos en el caso de raíces reales simples, de manera que la solución para la ecuación anterior queda

$$ a_h(n) = c_12^n + c_23^n, $$

con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.

A continuación, de cara a encontrar una solución particular, $a_p(n)$, como $b(n)=10$ y $\lambda=1$ no es raíz de la ecuación característica, proponemos $a_p(n) = k$, de forma que, sustituyendo esta en la ecuación inicial,

$$ k - 5k + 6k = 10, $$

es decir, $k=5$, con lo que

$$ a_p(n)=5. $$

Finalmente, la solución general para la ecuación inicial la obtenemos haciendo

$$ a(n) = a_h(n) + a_p(n) = c_12^n + c_23^n + 5, $$

con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.

En el apartado (b), la ecuación en diferencias lineal

$$ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 4 $$

es completa de orden 2. Procediendo como antes, abordamos su ecuación en diferencias lineal homogénea correspondiente

$$ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 0, $$

con ecuación característica asociada

$$ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0. $$

Como $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1)$, volvemos a estar en el caso de raíces reales simples, por lo que la solución para la ecuación anterior queda

$$ a_h(n) = c_11^n + c_22^n=c_1 + c_22^n, $$

con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.

Acto seguido, para encontrar una solución particular, $a_p(n)$, como $b(n)=4$ y $\lambda=1$ es raíz simple ($m=1$) de la ecuación característica, proponemos $a_p(n) = kn^1 = kn$, de forma que, sustituyendo en la ecuación inicial,

$$ k(n+2)-3k(n+1)+2kn = kn+2k-3kn-3k+2kn= -k = 4, $$

es decir, $k = -4$, con lo que

$$ a_p(n) = -4n. $$

Finalmente, la solución general de la ecuación inicial la obtenemos haciendo

$$ a(n) = a_h(n) + a_p(n) = c_1+c_22^n-4n, $$

con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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