Comenzando con la combinatoria (IV)

Problema 62

Fotografía de Lance Anderson, disponible en Unsplash.

Problema 62: Calcula el número de soluciones enteras de la ecuación

$$ x_1+x_2+\cdots+x_8=24, $$

donde $x_i\geq 2$, para $1\leq i\leq 8$.


A diferencia del ejercicio anterior, aquí no buscamos hallar el total de soluciones enteras no negativas de la ecuación, pues nos indican que $x_i\geq 2$, para todo $1\leq i\leq 8$. No obstante, podemos razonar de la siguiente forma: asumamos que disponemos de ocho urnas indistinguibles entre sí y almacenemos dos bolas en cada una de ellas para empezar. De esta manera, quedarán $24 - 2\cdot8 = 8$ bolas idénticas por introducir en las urnas, acción que podemos llevar a cabo de

$$ PR_{15}^{8,7} = \dfrac{15!}{8!\cdot 7!} = \dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{7!} = 6435 $$

maneras posibles. A este resultado hemos arribado, recordemos, dado que son necesarias siete barras, para representar las ocho urnas sobre la recta real, y hemos de almacenar ocho estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Así pues, son $6435$ el número de soluciones enteras para la ecuación planteada, considerando que $x_i\geq 2$, para todo $1\leq i\leq 8$.

Si nos damos cuenta, simplemente hemos ignorado aquella parte del problema que sabemos está fija. Técnicamente, esta acción es equivalente a llevar a cabo un cambio de variable del tipo

$$ x_i = x^{\prime}_i + 2, $$

para $1\leq i\leq 8$, que transforma la ecuación inicial planteada en

$$ (x^{\prime}_1 + 2) + (x^{\prime}_2 + 2) + \cdots + (x^{\prime}_8+2) = 24, $$

que es equivalente a $x^{\prime}_1 +x^{\prime}_2 +\cdots+x^{\prime}_8 =8$, con la salvedad de que ahora $x^{\prime}_i\geq 0$, para todo $1\leq i\leq 8$ y entonces ahora basta con aplicar los métodos que utilizamos en ejercicios anteriores.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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