Fotografía de Lance Anderson, disponible en Unsplash.
Problema 62: Calcula el número de soluciones enteras de la ecuación
$$ x_1+x_2+\cdots+x_8=24, $$
donde $x_i\geq 2$, para $1\leq i\leq 8$.
A diferencia del ejercicio anterior, aquí no buscamos hallar el total de soluciones enteras no negativas de la ecuación, pues nos indican que $x_i\geq 2$, para todo $1\leq i\leq 8$. No obstante, podemos razonar de la siguiente forma: asumamos que disponemos de ocho urnas indistinguibles entre sí y almacenemos dos bolas en cada una de ellas para empezar. De esta manera, quedarán $24 - 2\cdot8 = 8$ bolas idénticas por introducir en las urnas, acción que podemos llevar a cabo de
$$ PR_{15}^{8,7} = \dfrac{15!}{8!\cdot 7!} = \dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{7!} = 6435 $$
maneras posibles. A este resultado hemos arribado, recordemos, dado que son necesarias siete barras, para representar las ocho urnas sobre la recta real, y hemos de almacenar ocho estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Así pues, son $6435$ el número de soluciones enteras para la ecuación planteada, considerando que $x_i\geq 2$, para todo $1\leq i\leq 8$.
Si nos damos cuenta, simplemente hemos ignorado aquella parte del problema que sabemos está fija. Técnicamente, esta acción es equivalente a llevar a cabo un cambio de variable del tipo
$$ x_i = x^{\prime}_i + 2, $$
para $1\leq i\leq 8$, que transforma la ecuación inicial planteada en
$$ (x^{\prime}_1 + 2) + (x^{\prime}_2 + 2) + \cdots + (x^{\prime}_8+2) = 24, $$
que es equivalente a $x^{\prime}_1 +x^{\prime}_2 +\cdots+x^{\prime}_8 =8$, con la salvedad de que ahora $x^{\prime}_i\geq 0$, para todo $1\leq i\leq 8$ y entonces ahora basta con aplicar los métodos que utilizamos en ejercicios anteriores.
