Refinando el ejercicio del último día

Problema 77

Fotografía de Maksym Ivashchenko, disponible en Unsplash.

Problema 77:

  • (a) Calcula el número de soluciones enteras no negativas de

$$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=10. $$

  • (b) ¿Cuántas soluciones enteras no negativas posee la inecuación

$$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 < 10 ? $$


Para el apartado (a), razonaremos, como viene siendo ya habitual, en términos de urnas indistinguibles y bolas idénticas. Consideraremos que tenemos en nuestro haber seis de dichas urnas, en las que deseamos colocar diez de las mencionadas bolas. Aplicando la técnica de barras y estrellas necesitamos cinco barras para representar sobre la recta real las seis urnas y buscamos ubicar luego diez estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de formas en que el valor de la suma de seis variables puede ascender a diez, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $15$ elementos, donde uno de ellos se repite cinco veces, mientras que el otro lo hace en diez ocasiones. Así, hay

$$ PR_{15}^{5,10} = CR_{6,10} = \dbinom{15}{10} = \dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5!} = 3003 $$

soluciones enteras no negativas para la ecuación propuesta.

En cuanto al apartado (b), nos encontramos en una situación parecida a la del ejercicio anterior aunque observamos una desigualdad estricta. En primer lugar, cambiaremos adecuadamente el signo $<$ por $\leq$ y luego procederemos como en aquel problema. Así, como estamos interesados en soluciones enteras no negativas, es cierto que

$$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 < 10 \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\leq 9. $$

A continuación, introducimos una urna adicional, en la forma de una nueva variable, $x_7$, para así transformar la inecuación en una ecuación. Por tanto, el problema se reduce a averiguar el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación

$$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=9. $$

Aplicando la técnica de barras y estrellas necesitamos seis barras para representar sobre la recta real las siete urnas y buscamos ubicar luego nueve estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de formas en que el valor de la suma de siete variables puede ascender a nueve, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $15$ elementos, donde uno de ellos se repite seis veces, mientras que el otro lo hace en nueve ocasiones. Así, hay

$$ PR_{15}^{6,9} = CR_{7,9} = \dbinom{15}{9} = \dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{6!} = 5005 $$

soluciones enteras no negativas para la ecuación propuesta y, por tanto, asimismo para la inecuación planteada en el segundo apartado del ejercicio.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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