Buscando el total de soluciones de una inecuación

Problema 76

Fotografía de Serge Vorobets, disponible en Unsplash.

Problema 76: Calcula el número de soluciones enteras no negativas de la inecuación

$$ x+y+z+t \leq 2001. $$


A diferencia de ejercicios anteriores, en el presente encontramos una inecuación en lugar de una ecuación. Razonando en términos de urnas indistinguibles y bolas idénticas, esta situación se traduce en que, para ciertos repartos, algunas de las $2001$ bolas pueden quedar fuera de las cuatro urnas que emplearíamos para representar las variables $x$, $y$, $z$ y $t$. Así pues, procederemos generando una urna adicional, para una variable $u$, que será aquella donde depositemos el exceso de bolas del reparto. Por tanto, la inecuación planteada quedaría ahora como la ecuación

$$ x+y+z+t+u=2001, $$

de la cual deseamos encontrar el número de soluciones enteras no negativas.

Ahora ya estamos en condiciones de volver a utilizar las estrategias vistas en ejercicios previos. Aplicando la técnica de barras y estrellas, necesitamos cuatro barras para representar sobre la recta real las cinco urnas y buscamos ubicar luego $2001$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de formas en que el valor de la suma de cinco variables puede ascender a $2001$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $2005$ elementos, donde uno de ellos se repite cuatro veces, mientras que el otro lo hace en $2001$ ocasiones. Así, hay

$$ \begin{aligned} PR_{2005}^{4, 2001} &= CR_{5, 2001}\\ &= \dbinom{2005}{2001}\\ &= \dfrac{2005\cdot2004\cdot2003\cdot2002}{4!}\\ &= 671345179505 \end{aligned} $$

soluciones enteras no negativas para la ecuación propuesta y, por tanto, asimismo para la inecuación planteada en el enunciado del ejercicio.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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