Buscando el número de términos ando

Problema 65

Fotografía de Maksym Ivashchenko, disponible en Unsplash.

Problema 65: ¿Cuántos términos tiene la expansión de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$?


Empecemos estudiando algunos casos sencillos para comprobar si podemos inferir algún patrón de comportamiento. Por ejemplo, sabemos que

$$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + xy, $$

es decir, la expansión de $(x+y)^2$ posee tres términos. Análogamente,

$$ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3, $$

esto es, la expansión de $(x+y)^3$ posee cuatro términos. En general, por el Teorema del binomio,

$$ (x+y)^n = \dbinom{n}{0}x^n y^0 + \dbinom{n}{1}x^{n-1} y^1+\cdots+\dbinom{n}{n}x^0 y^n. $$

Rápidamente observamos que cada uno de los sumandos del anterior desarrollo posee una peculiar característica: la suma de las potencias de $x$ e $y$ asciende a $n$, el grado del binomio. Esto es cierto asimismo para los dos primeros ejemplos que consideramos arriba, sin más que escribirlos de la siguiente manera para que quede patente,

$$ \begin{aligned} (x+y)^2 &= x^2 y^0 + y^2 x^0 + x^1 y^1,\\ (x+y)^3 &= x^3 y^0 + 3x^2 y^1 + 3x^1 y^2 + y^3 x^0. \end{aligned} $$

Así pues, estamos interesados en saber de cuántas maneras podemos repartir el grado entre las variables involucradas en el desarrollo. En los ejemplos anteriores, $x$ e $y$ jugarían el papel de dos urnas indistinguibles, mientras que el grado $n$ adoptaría el rol de las $n$ bolas idénticas. Utilizando la estrategia de barras y estrellas, necesitamos una barra para representar sobre la recta real las dos urnas y buscamos ubicar luego $n$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de términos en la expansión de un binomio de grado $n$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $n+1$ elementos, donde uno de ellos se repite una vez, mientras que el otro lo hace en $n$ ocasiones. Así, hay

$$ PR_{n+1}^{1,n} = \dfrac{(n+1)!}{1!\cdot n!} = n+1 $$

términos en el desarrollo de un binomio de grado $n$.

Por otro lado,

$$ (x+y+z)^2 = x^2 +y^2 +z^2 +2xy+2xz+2yz, $$

esto es, el desarrollo de $(x+y+z)^2$ posee seis términos. Si lo escribimos como

$$ \begin{aligned} (x+y+z)^2 &= x^2 y^0 z^0 + x^0 y^2 z^0 + x^0 y^0 z^2\\ &\quad + 2x^1 y^1 z^0 + 2x^1 y^0 z^1 + 2x^0 y^1 z^1, \end{aligned} $$

rápidamente apreciamos que estamos repartiendo el grado, $2$, en tres urnas indistinguibles, $x$, $y$ y $z$. Aplicando, como antes, la estrategia de barras y estrellas, dicha acción la podemos llevar a cabo de

$$ PR_{2+2}^{2,2} = PR_{4}^{2,2} = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6 $$

formas posibles.

En general, para la expresión $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$ vamos a considerar que disponemos de $s$ urnas indistinguibles, las respectivas variables $x_1,x_2,\ldots,x_s$. En ellas buscamos repartir $n$ bolas idénticas, el grado $n$. Utilizando la estrategia de barras y estrellas, necesitamos $s-1$ barras para representar sobre la recta real las $s$ urnas y buscamos ubicar luego $n$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por tanto, el número de términos del desarrollo de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $s-1+n$ elementos, donde uno de ellos se repite $s-1$ veces, mientras que el otro hace en $n$ ocasiones. Así, hay

$$ PR_{s-1+n}^{s-1,n} = \dfrac{(n+s-1)!}{n!(s-1)!} $$

términos en el desarrollo de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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