Problema 63: ¿Cuántos números entre $1$ y $600$ no son divisibles por $3$, ni por $5$, ni por $7$?
Emplearemos el Principio de inclusión-exclusión para resolver el presente problema. Así, definamos los conjuntos
- $3$ como ‘‘conjunto de números menores o iguales que $600$ que son divisibles por $3$'’,
- $5$ como ‘‘conjunto de números menores o iguales que $600$ que son divisibles por $5$'’, y
- $7$ como ‘‘conjunto de números menores o iguales que $600$ que son divisibles por $7$'’.
Estamos interesados en el cardinal del conjunto de números que, precisamente, no son divisibles por $3$, ni por $5$, ni por $7$, esto es, $card(\overline{3}\cap\overline{5}\cap\overline{7})$ . Ahora bien, por las Leyes de DeMorgan, trabajaremos con el suceso complementario, ya que es más fácil contar múltiplos que números que no son múltiplos,
$$ card(\overline{3}\cap\overline{5}\cap\overline{7}) = card(\overline{3\cup 5\cup 7}) = card(E) - card(3\cup 5\cup 7), $$
donde por $E$ representamos el conjunto de los números enteros positivos menores o iguales que $600$, es decir, el conjunto total, cuyo cardinal asciende, en esta ocasión concreta, a $600$. Por tanto,
$$ card(\overline{3}\cap\overline{5}\cap\overline{7}) = 600 - card(3\cup 5\cup 7). $$
A continuación, por el Principio de inclusión-exclusión,
$$ \begin{aligned} card(3\cup 5\cup 7) &= card(3) + card(5) + card(7)\\ &\quad -card(3\cap 5) - card(3\cap 7) - card(5\cap 7)\\ &\quad +card(3\cap 5\cap 7), \end{aligned} $$
donde
- $card(3)$ representa el total de múltiplos de $3$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(3) = \left\lfloor\dfrac{600}{3}\right\rfloor=200. $$
- $card(5)$ representa el total de múltiplos de $5$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(5) = \left\lfloor\dfrac{600}{5}\right\rfloor=120. $$
- $card(7)$ representa el total de múltiplos de $7$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(7) = \left\lfloor\dfrac{600}{7}\right\rfloor=85. $$
- $card(3\cap 5)$ representa el total de múltiplos de $3$ y de $5$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(3\cap 5) = \left\lfloor\dfrac{600}{3\cdot 5}\right\rfloor=40. $$
- $card(3\cap 7)$ representa el total de múltiplos de $3$ y de $7$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(3\cap 7) = \left\lfloor\dfrac{600}{3\cdot 7}\right\rfloor=28. $$
- $card(5\cap 7)$ representa el total de múltiplos de $5$ y de $7$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(5\cap 7) = \left\lfloor\dfrac{600}{5\cdot 7}\right\rfloor=17. $$
- $card(3\cap 5\cap 7)$ representa el total de múltiplos de $3$, de $5$ y de $7$ menores o iguales que $600$, esto es,
$$ card(3\cap 5\cap 7) = \left\lfloor\dfrac{600}{3\cdot 5\cdot 7}\right\rfloor=5. $$
Por consiguiente,
$$ card(\overline{3}\cap\overline{5}\cap\overline{7}) = 600 - (200 + 120 + 85 - 40 - 28 - 17 + 5) = 275, $$
es decir, hay $275$ números entre $1$ y $600$, ambos inclusive, que no son divisibles por $3$, ni por $5$, ni por $7$.
