Fotografía de Maksym Ivashchenko, disponible en Unsplash.
Problema 65: ¿Cuántos términos tiene la expansión de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$?
Empecemos estudiando algunos casos sencillos para comprobar si podemos inferir algún patrón de comportamiento. Por ejemplo, sabemos que
$$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + xy, $$
es decir, la expansión de $(x+y)^2$ posee tres términos. Análogamente,
$$ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3, $$
esto es, la expansión de $(x+y)^3$ posee cuatro términos. En general, por el Teorema del binomio,
$$ (x+y)^n = \dbinom{n}{0}x^n y^0 + \dbinom{n}{1}x^{n-1} y^1+\cdots+\dbinom{n}{n}x^0 y^n. $$
Rápidamente observamos que cada uno de los sumandos del anterior desarrollo posee una peculiar característica: la suma de las potencias de $x$ e $y$ asciende a $n$, el grado del binomio. Esto es cierto asimismo para los dos primeros ejemplos que consideramos arriba, sin más que escribirlos de la siguiente manera para que quede patente,
$$ \begin{aligned} (x+y)^2 &= x^2 y^0 + y^2 x^0 + x^1 y^1,\\ (x+y)^3 &= x^3 y^0 + 3x^2 y^1 + 3x^1 y^2 + y^3 x^0. \end{aligned} $$
Así pues, estamos interesados en saber de cuántas maneras podemos repartir el grado entre las variables involucradas en el desarrollo. En los ejemplos anteriores, $x$ e $y$ jugarían el papel de dos urnas indistinguibles, mientras que el grado $n$ adoptaría el rol de las $n$ bolas idénticas. Utilizando la estrategia de barras y estrellas, necesitamos una barra para representar sobre la recta real las dos urnas y buscamos ubicar luego $n$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de términos en la expansión de un binomio de grado $n$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $n+1$ elementos, donde uno de ellos se repite una vez, mientras que el otro lo hace en $n$ ocasiones. Así, hay
$$ PR_{n+1}^{1,n} = \dfrac{(n+1)!}{1!\cdot n!} = n+1 $$
términos en el desarrollo de un binomio de grado $n$.
Por otro lado,
$$ (x+y+z)^2 = x^2 +y^2 +z^2 +2xy+2xz+2yz, $$
esto es, el desarrollo de $(x+y+z)^2$ posee seis términos. Si lo escribimos como
$$ \begin{aligned} (x+y+z)^2 &= x^2 y^0 z^0 + x^0 y^2 z^0 + x^0 y^0 z^2\\ &\quad + 2x^1 y^1 z^0 + 2x^1 y^0 z^1 + 2x^0 y^1 z^1, \end{aligned} $$
rápidamente apreciamos que estamos repartiendo el grado, $2$, en tres urnas indistinguibles, $x$, $y$ y $z$. Aplicando, como antes, la estrategia de barras y estrellas, dicha acción la podemos llevar a cabo de
$$ PR_{2+2}^{2,2} = PR_{4}^{2,2} = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6 $$
formas posibles.
En general, para la expresión $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$ vamos a considerar que disponemos de $s$ urnas indistinguibles, las respectivas variables $x_1,x_2,\ldots,x_s$. En ellas buscamos repartir $n$ bolas idénticas, el grado $n$. Utilizando la estrategia de barras y estrellas, necesitamos $s-1$ barras para representar sobre la recta real las $s$ urnas y buscamos ubicar luego $n$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por tanto, el número de términos del desarrollo de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $s-1+n$ elementos, donde uno de ellos se repite $s-1$ veces, mientras que el otro hace en $n$ ocasiones. Así, hay
$$ PR_{s-1+n}^{s-1,n} = \dfrac{(n+s-1)!}{n!(s-1)!} $$
términos en el desarrollo de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$.
