Fotografía de Marita Kavelashvili, disponible en Unsplash.
Problema 67: Encuentra el número de maneras en que pueden sentarse $n$ matrimonios alrededor de una mesa si
- (a) hombres y mujeres se alternan.
- (b) cada mujer está sentada al lado de su marido.
Para el apartado (a) empecemos sentando, por ejemplo, a los hombres (podríamos haber iniciado la resolución colocando a las mujeres asimismo, pues el número de personas coincide). Sabemos, por ejercicios anteriores, que el total de formas de sentar a $n$ personas alrededor de una mesa asciende al total de permutaciones circulares de $n$ elementos, esto es, hay
$$ PC_n = (n-1)! $$
maneras. A continuación, comencemos a sentar mujeres. La primera de ellas puede hacerlo en cualesquiera de los $n$ huecos que la configuración de los hombres produce. Para la segunda, una vez sentada la primera, son $n-1$ las opciones que tiene a su disposición para ubicarse. En cuanto a la tercera, una vez sentadas las dos anteriores, tiene a su disposición $n-2$ asientos para escoger su sitio, y así sucesivamente. Aplicando la regla del producto, hay
$$ (n-1)!\cdot n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot2\cdot1 = (n-1)!n! $$
maneras en que pueden sentarse $n$ matrimonios alrededor de una mesa si hombres y mujeres han de alternar sus sitios.
Para el apartado (b), consideremos cada matrimonio como una unidad indivisible. Sabemos, por ejercicios anteriores, que el número de formas de disponer $n$ elementos alrededor de una mesa equivale al total de permutaciones circulares de $n$ elementos, es decir, $PC_n = (n-1)!$. Ahora bien, el primer matrimonio puede sentarse de dos maneras posibles (hombre - mujer o mujer - hombre), hecho que hemos de tener en cuenta. Lo mismo sucede para el segundo matrimonio, para el tercero, y así sucesivamente. Por consiguiente, aplicando la regla del producto, existen
$$ (n-1)!\cdot2\cdot2\cdot\ldots\cdot2 = (n-1)!\cdot2^n $$
maneras en que pueden sentarse $n$ matrimonios alrededor de una mesa si cada mujer ha de estar sentada al lado de su marido. Alternativamente, podemos abordar este apartado sentando primero a los hombres, acción que sabemos podemos llevar a cabo de $PC_n=(n-1)!$ formas posibles y luego considerar que cada mujer tiene sus opciones bastante limitadas a la hora de sentarse, pues únicamente puede hacerlo de dos manera posibles (a la izquierda o a la derecha de su marido). Como hemos de colocar $n$ mujeres asumiendo la restricción anterior, son $2^n$ las formas posibles y aplicando la regla del producto se llega al resultado alcanzado arriba.
