Fotografía de Serge Vorobets, disponible en Unsplash.
Problema 76: Calcula el número de soluciones enteras no negativas de la inecuación
$$ x+y+z+t \leq 2001. $$
A diferencia de ejercicios anteriores, en el presente encontramos una inecuación en lugar de una ecuación. Razonando en términos de urnas indistinguibles y bolas idénticas, esta situación se traduce en que, para ciertos repartos, algunas de las $2001$ bolas pueden quedar fuera de las cuatro urnas que emplearíamos para representar las variables $x$, $y$, $z$ y $t$. Así pues, procederemos generando una urna adicional, para una variable $u$, que será aquella donde depositemos el exceso de bolas del reparto. Por tanto, la inecuación planteada quedaría ahora como la ecuación
$$ x+y+z+t+u=2001, $$
de la cual deseamos encontrar el número de soluciones enteras no negativas.
Ahora ya estamos en condiciones de volver a utilizar las estrategias vistas en ejercicios previos. Aplicando la técnica de barras y estrellas, necesitamos cuatro barras para representar sobre la recta real las cinco urnas y buscamos ubicar luego $2001$ estrellas en los huecos que dicha configuración produce. Por consiguiente, el número de formas en que el valor de la suma de cinco variables puede ascender a $2001$, equivale a la cantidad de permutaciones con repetición de $2005$ elementos, donde uno de ellos se repite cuatro veces, mientras que el otro lo hace en $2001$ ocasiones. Así, hay
$$ \begin{aligned} PR_{2005}^{4, 2001} &= CR_{5, 2001}\\ &= \dbinom{2005}{2001}\\ &= \dfrac{2005\cdot2004\cdot2003\cdot2002}{4!}\\ &= 671345179505 \end{aligned} $$
soluciones enteras no negativas para la ecuación propuesta y, por tanto, asimismo para la inecuación planteada en el enunciado del ejercicio.
