Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: Halla el número de soluciones enteras de
- (a) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 0$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
- (b) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 2$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
- (c) $x+y+z+t = 100$, con $x\geq 30$, $y>21$, $z\geq 1$ y $t\geq 1$.
- (d) $x+y+z+t\leq 2001$, con $x\geq0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$ y $t\geq 0$.
Ejercicio 2: En una heladería se sirven $7$ tipos de helados.
- (a) ¿De cuántas formas distintas se pueden elegir $12$ helados?
- (b) ¿De cuántas maneras se pueden elegir $12$ helados si tiene que haber al menos uno de cada tipo?
Ejercicio 3:
- (a) En una tienda de material informático tienen monitores de $4$ marcas diferentes. ¿De cuántas maneras podemos escoger $6$ monitores?
- (b) Queremos repartir $k$ objetos iguales entre los $n$ alumnos que aparecen en una lista. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo si queremos que el primer alumno de la lista reciba, como mínimo, $4$ objetos? ¿Y si debe recibir exactamente $4$ objetos?
Ejercicio 4: (Andalucía (1987))
- (a) Prueba que, para cada número natural $n$, $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{8}$.
- (b) Prueba que, si $n$ es un número natural que no es múltiplo de $3$, entonces $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{24}$.
Ejercicio 5: Obtén el número de diagonales que se pueden trazar en un cuadrado, en un hexágono y en un polígono de $n$ lados. ¿Existe algún polígono tal que el número de lado coincida con el número de diagonales?
Ejercicio 6: ¿De cuántas formas pueden distribuirse $12$ libros de idénticos de matemáticas discretas entre cuatro estudiantes?
