Enunciados propuestos (XXXIV)

Seguimos repartiendo sin parar

Fotografía de Gradienta, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Halla el número de soluciones enteras de

  • (a) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 0$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
  • (b) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 2$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
  • (c) $x+y+z+t = 100$, con $x\geq 30$, $y>21$, $z\geq 1$ y $t\geq 1$.
  • (d) $x+y+z+t\leq 2001$, con $x\geq0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$ y $t\geq 0$.

Ejercicio 2: En una heladería se sirven $7$ tipos de helados.

  • (a) ¿De cuántas formas distintas se pueden elegir $12$ helados?
  • (b) ¿De cuántas maneras se pueden elegir $12$ helados si tiene que haber al menos uno de cada tipo?

Ejercicio 3:

  • (a) En una tienda de material informático tienen monitores de $4$ marcas diferentes. ¿De cuántas maneras podemos escoger $6$ monitores?
  • (b) Queremos repartir $k$ objetos iguales entre los $n$ alumnos que aparecen en una lista. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo si queremos que el primer alumno de la lista reciba, como mínimo, $4$ objetos? ¿Y si debe recibir exactamente $4$ objetos?

Ejercicio 4: (Andalucía (1987))

  • (a) Prueba que, para cada número natural $n$, $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{8}$.
  • (b) Prueba que, si $n$ es un número natural que no es múltiplo de $3$, entonces $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{24}$.

Ejercicio 5: Obtén el número de diagonales que se pueden trazar en un cuadrado, en un hexágono y en un polígono de $n$ lados. ¿Existe algún polígono tal que el número de lado coincida con el número de diagonales?


Ejercicio 6: ¿De cuántas formas pueden distribuirse $12$ libros de idénticos de matemáticas discretas entre cuatro estudiantes?


Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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