Enunciados propuestos (XLII)

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.

Ejercicio 1: Sea

$$z={\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)}^n+{\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)}^n.$$

Prueba que $z=2$ si $n$ es múltiplo de $3$ y $z=-1$ en cualquier otro caso.

Ejercicio 2: Escribe en forma binómica $e^{\sqrt{i}}$.

Ejercicio 3: Si

$$z+\frac{1}{z}=2\cos t,$$

calcula

$$z^n+\frac{1}{z^n}.$$

Ejercicio 4: Halla un número complejo que cumpla $z^5=\bar{z}$.

Ejercicio 5: Desde un punto exterior a un círculo se trazan dos secantes. El segmento interno (cuerda) de la primera secante mide $47$ m y el externo $9$ m. La cuerda de la segunda secante sobrepasa al segmento externo en $72$ m. Determina la longitud de la segunda secante.

Ejercicio 6: En el interior de un círculo de radio $13$ cm se da un punto $M$ que dista $5$ cm del centro del círculo. Por $M$ se traza una cuerda $AB$ que mide $25$ cm. Halla la longitud de los segmentos en que el punto $M$ divide a la cuerda $AB$.

Ejercicio 7: Dada $x^2+y^2=4$, halla la potencia del punto $(3,3)$.

Ejercicio 8: Calcula $3^i$.

Ejercicio 9: Calcula ${\log }_{1+i}(8-8i)$.

Ejercicio 10: Resuelve

• (a) $\cos (z)=2$.
• (b) $\sin (z)=4$.