Fotografía de Birmingham Museums Trust, disponible en Unsplash.
Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: Resuelve $\cosh^2{(z)} - 3\sinh{(z)} + 1 = 0$.
Ejercicio 2: Dados los puntos $A(1, 2)$ y $B(3,3)$, determina, como número complejo en forma binómica, los vértices de un triángulo equilátero con centro $A$, sabiendo que $B$ es uno de sus vértices.
Ejercicio 3: Determine los vértices de un cuadrado sabiendo que
- (a) Su centro es el punto $(2, 3)$.
- (b) Si se traslada el centro al origen, se gira un ángulo de $60$ grados, en sentido positivo, y se reducen los lados del cuadrado a la mitad; los vértices del nuevo cuadrado son los afijos de las raíces de un polinomio de grado cuatro, con coeficientes reales, que tiene la raíz $x = 1$.
Ejercicio 4: Los afijos $z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ y $z_6$ son los vértices consecutivos de un hexágono regular. Sabiendo que $z_1 = 0$ y que $z_4 = 4 + 6i$, halla $z_2, z_3, z_5$ y $z_6$.
Ejercicio 5: Dados tres complejos $z_1, z_2$ y $z_3$, demuestra que si forman un triángulo equilátero, se cumple que
$$ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3. $$
Ejercicio 6: Siendo $a$ un número complejo fijo, determina (en función de $a$) los posibles números complejos $z$, tales que las imágenes en el plano complejo de los afijos $a^2z, az^2$ y $z^3$ son vértices de un triángulo equilátero.
Ejercicio 7: Calcula
- (a) $\prod_{k=1}^{n-1}{\left(e^{\frac{2k\pi i}{n}} - 1\right)}$.
- (b) $\prod_{k=1}^{n-1}{\sin{\left(\frac{k\pi}{n}\right)}}$.
Ejercicio 8: Dado un número real $a$ y un número natural $n$, calcula
$$ \cos{(a)} + \cos{(2a)} + \cos{(3a)} + \cdots + \cos{(na)}. $$
Ejercicio 9: Calcula
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\cos{(n\alpha)}}{2^n}}. $$
