Fotografía de sanjoy saha, disponible en Unsplash.
Problema 15: Resuelve
- (a) $a_{n+2}-3a_{n+1}-2a_n = 3^n$.
- (b) $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 2^n$.
En el apartado (a), encontramos la ecuación en diferencias lineal completa de orden 2,
$$ a_{n+2}-3a_{n+1}-2a_n = 3^n. $$
Su ecuación en diferencias lineal homogénea asociada es
$$ a_{n+2}-3a_{n+1}-2a_n = 0, $$
con ecuación característica
$$ \lambda^2 - 3\lambda - 2 = 0. $$
Ahora, como $\lambda^2 - 3\lambda - 2=(\lambda - 2)(\lambda - 1)$, estamos en el caso de raíces reales simples, por lo que la solución para la ecuación anterior queda
$$ a_h(n) = c_11^n + c_22^n = c_1+c_22^n, $$
con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.
A continuación, para encontrar una solución particular, $a_p(n)$, como $b(n) = 3^n$ y $\lambda = 3$ no es raíz de la ecuación característica, proponemos $a_p(n) = k3^n$, de manera que, sustituyendo en la ecuación inicial,
$$ \begin{aligned} k3^{n+2} - 3k3^{n+1} + 2k3^n &= 3^n,\\ 9k - 9k + 2k &= 1,\\ 2k &= 1, \end{aligned} $$
es decir, $k = 1 / 2$, con lo que
$$ a_p(n) = \dfrac{1}{2}3^n. $$
Finalmente, la solución general de la ecuación inicial la obtenemos haciendo
$$ a(n) = a_h(n) + a_p(n) = c_1+c_22^n + \dfrac{1}{2}3^n, $$
con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.
En el apartado (b), la ecuación en diferencias lineal
$$ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 2^n $$
es completa de orden 2. Su ecuación en diferencial lineal homogénea asociada es
$$ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n = 0, $$
con ecuación característica correspondiente
$$ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0. $$
Como $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1)$, estamos en el caso de raíces reales simples, por lo que la solución para la ecuación anterior queda
$$ a_h(n) = c_11^n + c_22^n=c_1+c_22^n, $$
con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.
Ahora, para encontrar una solución particular, $a_p(n)$, como $b(n) = 2^n$ y $\lambda=2$ es una raíz simple ($m=1$) de la ecuación característica, proponemos $a_p(n) = kn^12^n = kn2^n$, de forma que, sustituyendo en la ecuación inicial,
$$ \begin{aligned} k(n+2)2^{n+2} - 3k(n+1)2^{n+1}+2kn2^n &= 2^n,\\ 4k(n+2) - 6k(n+1) + 2kn &= 1,\\ 4kn + 8k - 6kn - 6k + 2kn &=1,\\ 2k &= 1, \end{aligned} $$
es decir, $k=1 / 2$, con lo que
$$ a_p(n) = \dfrac{1}{2}n2^n = n2^{n-1}. $$
Finalmente, la solución general de la ecuación inicial la obtenemos haciendo
$$ a(n) = a_h(n) + a_p(n) = c_1+c_22^n+n2^{n-1}, $$
con $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.
