Fotografía de Oliver Plattner, disponible en Unsplash.
Problema 16: Resuelve
- (a) $a_{n+2}+a_n = \sin{(\pi n)}$.
- (b) $a_{n+2}+a_n = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}$.
El apartado (a) nos plantea la ecuación en diferencias lineal completa de orden 2,
$$ a_{n+2}+a_n = \sin{(\pi n)}. $$
Esta tiene como ecuación en diferencias lineal homogénea asociada
$$ a_{n+2}+a_n = 0, $$
cuya ecuación característica correspondiente es
$$ \lambda^2+1=0. $$
Como $\lambda^2+1 = (\lambda - i)(\lambda + i)$, estamos en el caso de raíces complejas conjugadas simples, para las que $\varrho = 1$ y $\theta = \pi/2$, de manera que la solución para la ecuación anterior queda
$$ \begin{aligned} a_h(n) &= 1^n\left(A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right)\\ &= A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, \end{aligned} $$
con $A,B\in\mathbb{R}$.
Ahora, para hallar una solución particular, $a_p(n)$, como $b(n) = \sin{(\pi n)}$ y $\lambda = \cos{(\pi)} + i\sin{(\pi)} = -1$ no es raíz de la ecuación característica, proponemos $a_p(n) = a\cos{(\pi n)} + b\sin{(\pi n)}$, de manera que, sustituyendo en la ecuación inicial
$$ \begin{aligned} a\cos{(\pi(n+2))} + b\sin{(\pi(n+2))} + a\cos{(\pi n)} + b\sin{(\pi n)} &= \sin{(\pi n)},\\ a\cos{(\pi n+2\pi)} + b\sin{(\pi n+2\pi)} + a\cos{(\pi n)} + b\sin{(\pi n)} &= \sin{(\pi n)}, \end{aligned} $$
y recordando que
$$ \begin{aligned} \cos{(k_1+k_2)} &= \cos{(k_1)}\cos{(k_2)}-\sin{(k_1)}\sin{(k_2)},\\ \sin{(k_1+k_2)} &= \sin{(k_1)}\cos{(k_2)}+\cos{(k_1)}\sin{(k_2)}, \end{aligned} $$
entonces $\cos{(\pi n+2\pi)} = \cos{(\pi n)}$ y $\sin{(\pi n+2\pi)} = \sin{(\pi n)}$, con lo que la ecuación anterior queda
$$ \begin{aligned} a\cos{(\pi n)} + b\sin{(\pi n)} + a\cos{(\pi n)} + b\sin{(\pi n)} &= \sin{(\pi n)},\\ 2a\cos{(\pi n)} + 2b\sin{(\pi n)} &= \sin{(\pi n)}, \end{aligned} $$
e, igualando coeficientes, llegamos a que $2a=0$, de donde $a=0$, y $2b=1$, con lo que $b=1 / 2$, de forma que
$$ a_p(n) = \dfrac{1}{2}\sin{(\pi n)}. $$
Finalmente, la solución general de la ecuación inicial la obtenemos haciendo
$$ a(n) = a_h(n) + a_p(n) = A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + \dfrac{1}{2}\sin{(\pi n)}, $$
con $A,B\in\mathbb{R}$.
En el apartado (b), tenemos la ecuación en diferencias lineal completa de orden 2,
$$ a_{n+2}+a_n = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, $$
cuya correspondiente ecuación lineal homogénea es
$$ a_{n+2}+a_n = 0, $$
con ecuación característica asociada
$$ \lambda^2 + 1=0. $$
Como $\lambda^2+1 = (\lambda - i)(\lambda + i)$, estamos en el caso de raíces complejas conjugadas simples, para las que $\varrho = 1$ y $\theta = \pi/2$, de manera que la solución para la ecuación anterior queda
$$ \begin{aligned} a_h(n) &= 1^n\left( A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} \right)\\ &= A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, \end{aligned} $$
con $A,B\in\mathbb{R}$.
Ahora, para hallar una solución particular, $a_p(n)$, como
$$ b(n) = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} $$
y
$$ \lambda = \cos{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} + i\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = i $$
es raíz simple ($m=1$) de la ecuación característica, proponemos
$$ \begin{aligned} a_p(n) &= n^1\left(a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right)\\ &= n\left(a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right), \end{aligned} $$
de manera que, sustituyendo en la ecuación inicial,
$$ \begin{aligned} (n+2)&\left(a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}(n+2)\right)} + b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}(n+2)\right)}\right)\\ &+n\left(a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right) = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} \end{aligned} $$
y recordando que
$$ \begin{aligned} \cos{(k_1+k_2)} &= \cos{(k_1)}\cos{(k_2)}-\sin{(k_1)}\sin{(k_2)},\\ \sin{(k_1+k_2)} &= \sin{(k_1)}\cos{(k_2)}+\cos{(k_1)}\sin{(k_2)}, \end{aligned} $$
entonces
$$ \begin{aligned} \cos{\left(\dfrac{\pi}{2}(n+2)\right)} &= \cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n+\pi\right)} = -\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)},\\ \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}(n+2)\right)} &= \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n+\pi\right)} = -\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, \end{aligned} $$
con lo que la ecuación anterior queda
$$ \begin{aligned} (n+2)&\left(-a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} - b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right)\\ &+ n\left(a\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + b\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\right) = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} \end{aligned} $$
e, igualando coeficientes, llegamos a que $-2a=0$, de donde $a=0$, y $-2b=1$, por lo que $b = -1 / 2$, de forma que
$$ a_p(n) = -\dfrac{1}{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}. $$
Finalmente, la solución general de la ecuación inicial la obtenemos haciendo
$$ \begin{aligned} a(n) = a_h(n) + a_p(n) &= A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + B\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} -\dfrac{1}{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}\\ &=A\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)} + \left(B-\dfrac{1}2{}\right)\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}n\right)}, \end{aligned} $$
con $A,B\in\mathbb{R}$.
