Un polinomio que solo toma valores enteros

Problema 25: Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$,

$$P(n)={\displaystyle \frac{n^7}{7}}+{\displaystyle \frac{n^3}{3}}+{\displaystyle \frac{11n}{21}}.$$

• (a) Demuestra que en ${\mathbb{Z}}_3$ y en ${\mathbb{Z}}_7$ se verifica que $3n^7+7n^3+11n=0$.
• (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

Para el apartado (a), recordemos que el conjunto finito ${\mathbb{Z}}_3=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$, que es un cuerpo al ser $3$ un número primo, viene definido como el conjunto cociente de $\mathbb{Z}$ por la relación de equivalencia dada por la congruencia módulo $3$. Así, como $3\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, para cada entero no negativo $n$, $3n^7\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Por otro lado, al ser $3$ un número primo, sabemos, por el corolario del Pequeño Teorema de Fermat, que $n^3\equiv n(\mathrm{mod}3)$, para cada entero no negativo $n$, por lo que $7n^3\equiv 7n(\mathrm{mod}3)\equiv n(\mathrm{mod}3)$. Por tanto,

$$\begin{array}{rl}(3n^7+7n^3+11n)& \equiv (0+n+11n)(\mathrm{mod}3)\\ & \equiv 12n(\mathrm{mod}3)\\ & \equiv 0(\mathrm{mod}3),\end{array}$$

para cada entero no negativo $n$. Alternativamente, en el caso de no recordar el anterior corolario, llegaríamos a que

$$\begin{array}{rl}(3n^7+7n^3+11n)& \equiv (0+7n^3+11n)(\mathrm{mod}3)\\ & \equiv (n^3-n)(\mathrm{mod}3),\end{array}$$

pero

$$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1),$$

esto es, $n^3-n$ es el resultado de multiplicar tres números consecutivos, entre los cuales siempre seremos capaces de encontrar un múltiplo de $3$, haciendo pues que se verifique que $(n^3-n)\equiv 0(\mathrm{mod}3)$.

Por lo que respecta al conjunto finito ${\mathbb{Z}}_7$, cuerpo también al ser $7$ un número primo, que se define siguiendo un procedimiento similar al mostrado para ${\mathbb{Z}}_3$, la manera de proceder es idéntica. Como $7\equiv 0(\mathrm{mod}7)$, entonces, para cada entero no negativo $n$, es cierto que $7n^3\equiv 0(\mathrm{mod}7)$. Además, aplicando el corolario del Pequeño Teorema de Fermat, como $7$ es un número primo, $n^7\equiv n(\mathrm{mod}7)$, por lo que $3n^7\equiv 3n(\mathrm{mod}7)$ para cada entero no negativo $n$. Luego,

$$\begin{array}{rl}(3n^7+7n^3+11n)& \equiv (3n+0+11n)(\mathrm{mod}7)\\ & \equiv 14n(\mathrm{mod}7)\\ & \equiv 0(\mathrm{mod}7).\end{array}$$

En cuanto al apartado (b), operando en la expresión de $P(n)$ llegamos a que

$$P(n)={\displaystyle \frac{n^7}{7}}+{\displaystyle \frac{n^3}{3}}+{\displaystyle \frac{11n}{21}}={\displaystyle \frac{3n^7+7n^3+11n}{21}},$$

y para que $P(n)\in \mathbb{Z}$, para cada entero no negativo $n$, el numerador de la anterior expresión ha de ser múltiplo de $21$. Sin embargo, en el apartado (a) acabamos de probar que $(3n^7+7n^3+11n)\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ y $(3n^7+7n^3+11n)\equiv 0(\mathrm{mod}7)$, de manera que, aplicando las propiedades de las congruencias, se verifica que $(3n^7+7n^3+11n)\equiv 0(\mathrm{mod}21)$, es decir, el numerador es múltiplo de $21$ y, por tanto, $P(n)\in \mathbb{Z}$ para cada entero no negativo $n$.