Fotografía de Nathan Duck, disponible en Unsplash.
Problema 31: Demuestra que $a^{25} - a$ es divisible entre $30$ para cualquier entero $a$.
Hemos de ser capaces de probar que $(a^{25} - a)\equiv 0\pmod{30}$ para todo $a\in\mathbb{Z}$. Como $30=2\cdot3\cdot5$, veremos si la expresión es múltiplo de cada uno de los factores primos de $30$ y, en caso afirmativo, por las propiedades de las congruencias, estaremos en condiciones de concluir que asimismo será múltiplo de $30$.
Vamos a apoyarnos en el corolario del Pequeño Teorema de Fermat, que afirma que si $p$ es un número primo y $a\in\mathbb{Z}$, entonces $a^p\equiv a\pmod{p}$. Así, para $p=5$,
$$ \begin{aligned} a^{25} &= (a^5)^5\\ &\equiv a^5\pmod{5}\\ &\equiv a\pmod{5}, \end{aligned} $$
de manera que $(a^{25} - a)\equiv 0\pmod{5}$, esto es, la expresión es múltiplo de $5$. Procediendo de manera similar, para $p=3$,
$$ \begin{aligned} a^{25} &= a\cdot (a^8)^3\\ &\equiv (a\cdot a^8)\pmod{3}\\ &\equiv (a^3)^3\pmod{3}\\ &\equiv a^3\pmod{3}\\ &\equiv a\pmod{3}, \end{aligned} $$
y, por tanto, $(a^{25} - a)\equiv 0\pmod{3}$, es decir, la expresión es asimismo múltiplo de $3$. Finalmente, para $p=2$,
$$ \begin{aligned} a^{25} &= a\cdot(a^{12})^2\\ &\equiv (a\cdot a^{12})\pmod{2}\\ &\equiv (a\cdot (a^6)^2)\pmod{2}\\ &\equiv (a\cdot a^6)\pmod{2}\\ &\equiv (a\cdot(a^3)^2)\pmod{2}\\ &\equiv (a\cdot a^3)\pmod{2}\\ &\equiv a^4\pmod{2}\\ &\equiv (a^2)^2\pmod{2}\\ &\equiv a^2\pmod{2}\\ &\equiv a\pmod{2}, \end{aligned} $$
y, por consiguiente, $(a^{25} - a)\equiv 0\pmod{2}$, esto es, la expresión también es múltiplo de $2$. Al ser múltiplo de $2$, $3$ y $5$, por las propiedades de las congruencias podemos afirmar que $(a^{25} - a)\equiv 0\pmod{30}$, es decir, la expresión es múltiplo de $30$.
A modo de nota final, aunque nos hubiese dado la impresión de que escoger la descomposición $30=5\cdot 6$ habría acelerado la resolución de este ejercicio, hemos de ser cautos, pues $6$ no es un número primo, requisito indispensable para aplicar el resultado que nos ha permitido llevar a buen puerto este problema. En este último caso, habría sido necesario recurrir a otras herramientas para verificar la propiedad propuesta en el enunciado del ejercicio.
