Problema 33:
- (a) ¿En cuántos ceros acaba el número $1000!$?
- (b) Demuestra que $1000!$ no es divisible por $2^{995}$,
Para el apartado (a), nuestra labor consistiría en contar el número de dieces que podemos encontrar en la expresión de $1000! = 1\cdot2\cdot3\cdots999\cdot1000$. No estamos en condiciones de emplear directamente la Fórmula de Legendre, puesto que $10$ no es un número primo, pero $10=2\cdot5$, de manera que nuestra tarea se reduce a buscar el número de veces que figura $5$ en la factorización en números primos de $1000!$ (porque $2$ aparecerá con mayor frecuencia, al ser menor que $5$, por ello nos interesa solamente hallar el número de cincos).
Así, aplicando la mencionada fórmula,
$$ \begin{aligned} v_5(1000!) &= \left\lfloor\dfrac{1000}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{1000}{5^2}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{1000}{5^3}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{1000}{5^4}\right\rfloor\\ &= 200 + 40 + 8 + 1 = 249, \end{aligned} $$
es decir, $1000!$ acaba en $249$ ceros.
Para el apartado (b), quizá de forma un tanto rebuscada, simplemente nos preguntan por el número de veces que aparece $2$ en la factorización en números primos de $1000!$, puesto que tal valor nos permitirá verificar la propiedad enunciada. Aplicando, de nuevo, la Fórmula de Legendre, tenemos que
$$ \begin{aligned} v_2(1000!) &= \left\lfloor\dfrac{1000}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{1000}{2^2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\dfrac{1000}{2^9}\right\rfloor\\ &= 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 \\ &= 994, \end{aligned} $$
luego $2^{994}|1000!$, pero $2^{995}\nmid 1000!$, como queríamos demostrar.
