Fotografía de Michael Hacker, disponible en Unsplash.
Problema 78: Demuestra que, para cada número natural $n$,
$$ \dbinom{-1 / 2}{n} = \dbinom{2n}{n}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n. $$
Utilizando la definición,
$$ \begin{aligned} \dbinom{-1 / 2}{n} &= \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)\left(-\dfrac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\dfrac{1}{2} - (n-1)\right)}{n!}\\ &= \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{3}{2}\right)\left(-\dfrac{5}{2}\right)\cdots\left(\dfrac{1-2n}{2}\right)}{n!}. \end{aligned} $$
En el numerador encontramos $n$ factores, por lo que podremos extraer esa misma cantidad de signos negativos, quedando entonces $(-1)^n$ (atención a cómo quedaría el último factor tras esta acción). Además, hay $n$ doses en los denominadores de las fracciones que aparecen en el numerador, quedando su producto entonces $2^n$, valor que podemos trasladar al denominador de la expresión. Por consiguiente,
$$ \dbinom{-1 / 2}{n} = (-1)^n \cdot\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots (2n-1)}{2^n n!}. $$
Ahora, multipliquemos y dividamos por el producto de números pares $2\cdot4\cdot6\cdots 2n$ (llegamos a $2n$ y no hasta $2n-2$ por la expresión a la que buscamos arribar), provocando así que en el numerador aparezca el factorial de $2n$,
$$ \begin{aligned} \dbinom{-1 / 2}{n} &= (-1)^n\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots (2n-1)\cdot 2n}{(2\cdot4\cdot6\cdots 2n) 2^n n!}\\ &= (-1)^n\dfrac{(2n)!}{(2\cdot4\cdot6\cdots 2n) 2^n n!}. \end{aligned} $$
Además, sacando un dos de cada factor, y teniendo en cuenta que hay $n$ de ellos, es cierto que,
$$ 2\cdot4\cdot6\cdots 2n = 2^n(1\cdot2\cdot3\cdots n) = 2^n n!, $$
y sustituyendo el resultado alcanzado en la expresión anterior,
$$ \dbinom{-1 / 2}{n} = (-1)^n\dfrac{(2n)!}{(2^n n!) (2^n n!)}. $$
Como $2^n\cdot 2^n = 2^{2n} = 4^n$,
$$ \dbinom{-1 / 2}{n} = (-1)^n\dfrac{(2n)!}{4^n n! n!} = \dfrac{(-1)^n}{4^n}\dbinom{2n}{n} = \dbinom{2n}{n}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n , $$
tal y como queríamos demostrar.
