Enunciados propuestos (XV)

Operar aritméticamente en base 16 es… curioso

Fotografía de Gloria Madroñal, disponible en Instagram.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1:

  • (a) ¿En cuántos ceros acaba $438_{(40}!$?
  • (b) ¿En cuántos ceros acaba $(55555_{(6}!)^3$?

Ejercicio 2: Calcula el número de ceros en que acaba $(15348_{(16}!)^5$, con la condición de que debe operarse en base $16$, sin pasar a base decimal, hasta el final.


Ejercicio 3: Halla el criterio de divisibilidad por $5$ y por $10$ de un número en base $9$. ¿Es múltiplo de $5$ el número $213246_{(9}$?


Ejercicio 4: Halla el conjunto de los divisores del número $1001$. Sean $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots + (-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n$ es un número entero, para cada $n\in\mathbb{N}\cup{0}$. Demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, por $11$ o por $13$, y aplícalo al número $312879645$.


Ejercicio 5: Demuestra que, siendo $n$ un número entero, la expresión

$$ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{n+2} $$

siempre es divisible por $24$.


Ejercicio 6: Demuestra que, si el número natural $p=abc_{(10}$ es divisible por $37$, los números $bca_{(10}$ y $cab_{(10}$ son divisibles por $37$.


Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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