Enunciados propuestos (XVI)

Obsesionados con los cuadrados perfectos

Fotografía de Gloria Madroñal, disponible en Instagram.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números enteros cualesquiera. Prueba que

$$ abcd(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(a^2 - d^2)(b^2 - c^2)(b^2 - d^2)(c^2 - d^2) $$

es divisible por $7$.


Ejercicio 2: Encuentra los números de cuatro cifras, de la forma $abab$, que, disminuidos en una unidad, sean cuadrados perfectos.


Ejercicio 3: Se tienen los números $49$, $4489$, $444889$, $\ldots$ obtenido cada uno intercalando $48$ en el centro del anterior. Demuestra que todos estos números son cuadrados perfectos y halla la raíz cuadrada del que consta de $2n$ cifras.


Ejercicio 4: Halla el resto de la división por $11$ de $37^{437}$.


Ejercicio 5: Demuestra que si $p$ es un número primo impar, se cumple que $p$ divide a $2^{p-1}-2$.


Ejercicio 6: Sea $p$ un número primo impar. Demuestra que

  • (a) $(1^{p-1} + 2^{p-1} + \cdots + (p-1)^{p-1})\equiv (-1)\pmod {p}$.
  • (b) $(1^p + 2^p + \cdots + (p-1)^p)\equiv 0\pmod{p}$.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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