Fotografía de Jonatan Pie, disponible en Unsplash.
Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: En un puesto de mando, para transmitir señales, hay en línea recta cuatro astas. En cada asta solamente se puede colocar una bandera. Las señales consisten en colocar banderas de distintos colores en dichas astas. Según el número de banderas colocadas, colores de las mismas y lugar que ocupen, la señal será distinta. Halla el número de señales que se pueden transmitir si se posee un juego de siete banderas con los colores del arco iris.
Ejercicio 2: (Comunidad Valenciana (2019), variación) La lotería primitiva consta de $49$ números. El día del sorteo se eligen $7$ distintos: los $6$ que forman la combinación ganadora y el complementario. En un boleto se pueden marcar $r$ de los $49$ números.
- (a) Marcando $6$ números, ¿cuál es la probabilidad de acertar la combinación ganadora?
- (b) Marcando $6$ números, ¿cuál es la probabilidad de acertar $5$? Realiza la discusión en función del complementario.
- (c) Halla la probabilidad de acertar $5$ números de la combinación ganadora en el caso que haya marcado $10$ de los $49$ posibles.
Ejercicio 3: Un desarreglo es una permutación de objetos en la que ningún objeto está en su posición original. Por ejemplo, $234561$ es una permutación de $123456$, pero $213645$ no, ya que $3$ está en su posición original.
- (a) Escribe los desarreglos de $123$.
- (b) Demuestra que, dados $n$ objetos, el total de desarreglos asciende a
$$ D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\cdot\frac{1}{n!}\right). $$
Ejercicio 4: En una fiesta, a la que acuden seis chicos y seis chicas, comienza a sonar la primera canción.
- (a) ¿De cuántas formas pueden organizarse para bailar todos ellos por parejas? Asume que cada pareja está formada por un chico y una chica.
- (b) Como ninguna de las chicas ha quedado contenta con el desempeño en el baile de su pareja, de cara a la segunda canción, ¿de cuántas maneras pueden organizarse para bailar por parejas de forma que no repitan con la anterior?
Ejercicio 5: Halla el número de soluciones enteras de la ecuación $x+y+z+t=100$, con $1\leq x\leq 10$, $y\geq 0$, $z\geq 2$ y $20\leq t\leq 30$.
Ejercicio 6: ¿De cuántas maneras podemos sumar $13$ al lanzar $3$ dados?
Ejercicio 7: Halla cuántos números de cuatro cifras existen cuya suma de sus cifras ascienda a $27$.
Ejercicio 8: Suben dos mujeres y tres hombres a un ascensor en la planta baja de un edificio de seis pisos. Averigua de cuántas maneras se pueden bajar del ascensor, sabiendo que, en un mismo piso, no pueden bajar personas de distinto sexo.
Ejercicio 9: ¿Cuántos términos tiene la expansión de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$?
Ejercicio 10: Calcula
$$ \binom{-2}{3}. $$
