Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1:
- (a) Calcula, para cada número natural $k$,
$$ \binom{-1}{k}. $$
- (b) Demuestra que, para cada número natural $n$,
$$ \binom{-\frac{1}{2}}{n} = \binom{2n}{n}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^n. $$
Ejercicio 2: ¿Cuántas rutas existen, desde la esquina inferior izquierda de una cuadrícula $n\times n$ a la esquina superior derecha, si los viajes se restringen solo a pasos de longitud unitaria a la derecha o hacia arriba?
Ejercicio 3: Dada una cuadrícula $n\times n$, sobre la que nos podemos desplazar con pasos unitarios hacia la derecha o hacia arriba, se dice que una ruta es ‘‘buena’’ si va por debajo de la diagonal y la toca.
- (a) ¿Cuántas rutas ‘‘buenas’’ hay?
- (b) Escogida una ruta al azar de la cuadrícula, ¿cuál es la probabilidad de que sea ‘‘buena’’?
Ejercicio 4: Sea el plano $E$ cuadriculado por las rectas $x=m$ e $y=n$, con $m$ y $n$ números enteros. El punto $P(m,n)$ es un nudo de la cuadrícula. Una sucesión de nudos se llama trayectoria. Se consideran las trayectorias ascendentes $T_a$ en las que se pasa de un nudo al siguiente por la traslación $u$ o por la traslación $v$, donde $(O,u,v)$ es un sistema ortogonal. La longitud de una trayectoria es el número de traslaciones $u$ o $v$ que tiene.
- (a) Determina el número $T_a(O,P)$ que van del origen $O$ al punto $P(m,n)$ ($m\geq0, n\geq0$) y el número de trayectorias $T'_a(P',P)$ que van del punto $P'(m',n')$ al punto $P(m,n)$ con $m'\leq m$ y $n'\leq n$.
- (b) Calcula el número de trayectorias de longitud $h$, $T_a$, que parten del origen.
- (c) Sea $P(m,n)$, con $m>n$. Calcula el número $T_{a_1}(O,P)$ de trayectorias que van de $O$ a $P$ por debajo de la diagonal $y=x$.
- (d) Sea $P(n,n)$. Halla el número de trayectorias $T_{a_2}(O,P)$ que van de $O$ a $P$ por encima o por debajo de la diagonal principal sin tocarla más que en los puntos $O$ y $P$.
- (e) Se lanza una moneda $2n$ veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener $n$ caras y $n$ cruces? Se supone que la igualdad no se alcanza antes del último lanzamiento.
Ejercicio 5: En la cola del cine hay $2n$ personas que deben comprar una entrada de $5$ euros. Hay $n$ personas que tienen un billete de $5$ euros y hay $n$ personas que tienen un billete de $10$ euros. Si la persona que está en caja no dispone de cambio al principio, determina la probabilidad de que ningún cliente tenga que esperar para recibir la vuelta.
Ejercicio 6: Un grupo de $n+m$ personas se alinean frente a las taquillas de un teatro para comprar una entrada cuyo precio es de $50$ euros. De entre ellas, $m$ poseen un billete de $50$ euros, mientras que $n$ poseen un billete de $100$ euros ($m\geq n$). Al abrir la taquilla, el cajero no tiene cambio. ¿Cuál es la probabilidad de que estas personas se alineen de manera que el cajero siempre tenga cambio?
Ejercicio 7: Dos candidatos $A$ y $B$ se presentan a una elección. Si $A$ recibe $a$ votos y $B$ recibe $b$ votos, con $a>b$,
- (a) ¿cuál es la probabilidad de que, en todo momento del escrutinio, $A$ vaya por delante de $B$?
- (b) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo largo del escrutinio, la diferencia de votos a favor de $A$ no haya sido mayor que $a-b$?
Ejercicio 8: Se sabe que una elección, para la cual hay dos candidatos $A$ y $B$, ha terminado con el resultado de $9$ votos a favor de $A$ y $6$ a favor de $B$. Calcula:
- (a) la probabilidad de que, durante el escrutinio de los votos, siempre haya ido por delante el candidato $A$.
- (b) la probabilidad de que, a lo largo del escrutinio, la diferencia entre los dos candidatos no haya sido superior a $3$.
Ejercicio 9: En una cuadrícula de tamaño $8\times 8$ hay dos hormigas, $A$ y $B$, ubicadas en las esquinas opuestas. La hormiga $A$ (situada en la esquina inferior izquierda) se mueve en pasos de longitud unitaria hacia la derecha o hacia arriba, mientras que la hormiga $B$ hace lo propio hacia la izquierda o hacia abajo. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren? Asume que ambas caminan a la misma velocidad y empiezan a hacerlo simultáneamente.
Ejercicio 10: Un avión, de una determinada compañía, debe realizar un viaje entre dos ciudades, con un total de $m+n$ escalas, donde $m$ y $n$ son números naturales. En cada escala el avión ha de cargar o descargar una tonelada de cierta mercancía, realizando cargas en $m$ de las escalas y descargas en las $n$ restantes.
No obstante, en la compañía nadie ha reparado en que el avión no soporta una carga mayor de $k$ toneladas, con $k$ número natural entre $n$ y $m+n$, y las escalas de carga y descarga se reparten al azar.
Si el avión sale con $n$ toneladas de mercancía, calcula la probabilidad de que llegue a su destino.
