Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: Dado el polinomio $P(x) = x^3 + 3x^2 - 7x + 1$, calcula $\sum_{i=1}^{3}{x_i^2}$, donde $x_i$, con $i=1,2,3$, son las raíces de dicho polinomio.
Ejercicio 2: Calcula el resto de dividir $x^{100} - 2x^{51} + 1$ entre $x^2-1$.
Ejercicio 3: Determina $a$ y $b$ para que $(x-1)^2$ divida a $ax^4 + bx^3 + 1$.
Ejercicio 4: Encuentra $a$ tal que $x=-1$ sea raíz múltiple de $x^5 - ax^2 - ax + 1$.
Ejercicio 5: Halla los valores de $p$ y $q$ para que las ecuaciones
$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + px - 3 &= 0,\\ x^3 - x^2 + qx + 2 &=0, \end{aligned} $$
tengan dos raíces comunes.
Ejercicio 6: Resuelve $2x^3 - 9x^2 + 32x + 75 = 0$, sabiendo que admite una raíz compleja de módulo $|z| = 5$.
Ejercicio 7: Resuelve la ecuación $x^4 + 2x^3 + x^2 + 8x - 12 = 0$, sabiendo que tiene una raíz imaginaria pura.
Ejercicio 8: Calcula $q$ para que las cuatro raíces de la ecuación $z^4 + 6z^3 - 7z^2 - 36z + q = 0$ formen una proporción.
Ejercicio 9: Sea la ecuación $x^3 - 7x + \theta = 0$.
- (a) Halla $\theta$ para que una raíz sea el doble de la otra.
- (b) Resuelve la ecuación.
Ejercicio 10: Un polinomio es tal que al dividirlo por $x+1$ y por $x-1$ da de resto $6$ y $2$, respectivamente. Además, es divisible por $x^2+1$.
- (a) Halla el resto al dividirlo por $x^4-1$.
- (b) Halla el polinomio de grado cinco que lo verifica y tal que, al dividirlo por $x^4-1$, los coeficientes de los términos de primer grado e independiente sean $3$ y $4$.
