Enunciados propuestos (XLV)

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.

Ejercicio 1: Un polinomio $P(x)$ dividido por $x-1$ da de resto $-8$; dividido por $x+2$ da de resto $25$, ¿qué resto dará al dividirlo por $x^2 + x - 2$? Halla $P(x)$ sabiendo que es de tercer grado y divisible por $x^2 - 9$.

Ejercicio 2: Dada la ecuación $x^7 - 4x^6 + 8x^2 - 1 = 0$, encuentra la suma de los inversos de los cuadrados de las raíces.

Ejercicio 3: Sea $P(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + n$.

• (a) Halla $Q_i(x)$ de manera que $P(x) = Q_i(x)^2 + mQ_i(x) + n$.
• (b) Calcula $n$ tal que si $R(x) = \sum{Q_i^2(x)}$, entonces $R(x)$ tiene un máximo relativo en $x = n / 2$.
• (c) Para ese valor, halla las raíces de $P(x)$.

Ejercicio 4: Halla las raíces de la ecuación $x^4 + 3x^3 - 30x^2 + 366x - 340 = 0$, sabiendo que una raíz es $3 + 5i$.

Ejercicio 5: Determina $a$ y $b$ para que las raíces del polinomio $P(x) = x^4 - 8x^3 + 14x^2 + ax + b$ estén en progresión aritmética. Halla dichas raíces.

Ejercicio 6: En $\mathbb{Z}_7$, halla $c$ y $d$ para que el polinomio $x^4 + 3x^3 + 5x^2 + cx + d$ sea un cuadrado perfecto. Indica de qué polinomio es cuadrado.

Ejercicio 7: Halla la relación entre $p$ y $q$, de $\mathbb{R}$, para que los afijos de las raíces de la ecuación $x^3 + px + q = 0$ sean los vértices de un triángulo rectángulo isósceles.

Ejercicio 8: Halla el resto de la división del polinomio $P(x)$ por $(x^2 + 1)(x + 1)$ si al dividir $P(x)$ por $x^2+1$ el resto es $2x + 3$ y al dividirlo por $x+1$ el resto es $4$.

Ejercicio 9: Halla el resto de la división dada por $(\cosh{(a)} + x\sinh{(a)})^n$ entre $x^2 - 1$.

Ejercicio 10: Un polinomio $P(x)$ dividido por $x + 1$ da de resto $-45$ y dividido por $x-3$ da de resto $-165$.

• (a) Calcula el resto de $P(x)$ al dividirlo por $x^2 - 2x - 3$.
• (b) Halla $P(x)$ sabiendo que es de grado cuatro y divisible por $x(x^2 - 4)$.
• (c) Halla las raíces de $P(x) = 0$.