Problema 6: Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$,
$$ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2. $$
Para empezar, y de cara a aliviar ligeramente la escritura en un futuro, podemos plantear de manera más compacta la identidad dada en el enunciado del presente problema como sigue
$$ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\sum_{k=1}^{n}{k}\right)^2 = (1+2+3+\cdots+n)^2. $$
En esta ocasión, si optamos por una aproximación similar a la seguida en los problemas anteriores, la demostración puede volverse un tanto tediosa debido a los cálculos implicados. Es por ello que, utilizando el resultado probado en el problema 1, la igualdad que buscamos verificar aquí sería equivalente a
$$ \sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\sum_{k=1}^{n}{k}\right)^2 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}. $$
Una vez alcanzada una expresión más manejable para la identidad planteada, empleamos el principio de inducción matemática, dado en el Teorema 1.1 (ver abajo), para probarla. Rápidamente comprobamos que se verifica de manera trivial para $n=1$, puesto que
$$ 1 = 1^3 = \dfrac{1^2\cdot2^2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1. $$
Ahora, suponemos cierta la identidad para un número dado $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$, es decir, que efectivamente se cumple que
$$ \sum_{k=1}^{n}{k^3} = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}, $$
y estudiamos si se satisface asimismo para $n+1$. Así pues, acto seguido, el objetivo que tenemos entre manos es verificar si es cierta la igualdad
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{k^3} = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}. $$
Apliquemos la hipótesis de inducción y llevemos a cabo algunas operaciones algebraicas elementales, de manera que
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}{k^3} &= (n+1)^3 + \sum_{k=1}^{n}{k^3}\\ &= (n+1)^3 + \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\\ &= \dfrac{4(n+1)^3 + n^2(n+1)^2}{4}\\ &= \dfrac{(n+1)^2(4(n+1)+n^2)}{4}\\ &= \dfrac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}\\ &= \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \end{aligned} $$
y, por tanto, la identidad se verifica para $n+1$. El principio de inducción matemática nos permite concluir que es cierta para cada $n\in\mathbb{N}$.
Teorema 1.1 (Principio de inducción matemática): Sea $S$ un conjunto de enteros positivos que tienen las dos propiedades siguientes:
- El número 1 pertenece al conjunto $S$.
- Si un entero $k$ pertenece a $S$, también $k+1$ pertenece a S.
Entonces todo entero positivo pertenece al conjunto $S$.
