Fotografía de Daniel von Appen, disponible en Unsplash.
Problema 8: Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$,
$$ n<2^n. $$
Hagamos uso del principio de inducción matemática, dado en el teorema 1.1 (ver abajo), para demostrar la desigualdad planteada en el enunciado del problema. Enseguida apreciamos que esta se cumple de forma trivial para $n=1$, ya que
$$ 1 < 2^1 = 2. $$
Ahora, asumimos cierta la desigualdad para un $n\in\mathbb{N}$ dado, con $n\geq 1$, es decir, que efectivamente se cumple que
$$ n < 2^n, $$
y estudiamos si se verifica asimismo para $n+1$. Así pues, el objetivo pasa ahora por demostrar que se satisface la siguiente desigualdad
$$ n+1 < 2^{n+1}. $$
Apoyándonos en que $n+1\leq n+n = 2n$, para cada $n\in\mathbb{N}$, (siendo una desigualdad estricta cuando $n>1$) y en la hipótesis de inducción, tenemos que
$$ \begin{aligned} n+1 &\leq n+n\\ &= 2n\\ &< 2\cdot 2^n\\ &= 2^{n+1}, \end{aligned} $$
es decir, la desigualdad se verifica para $n+1$. El principio de inducción matemática nos permite concluir que es cierta para cada $n\in\mathbb{N}$.
Teorema 1.1 (Principio de inducción matemática): Sea $S$ un conjunto de enteros positivos que tienen las dos propiedades siguientes:
- El número 1 pertenece al conjunto $S$.
- Si un entero $k$ pertenece a $S$, también $k+1$ pertenece a S.
Entonces todo entero positivo pertenece al conjunto $S$.
