Fotografía de Paula Vermeulen, disponible en Unsplash.

Múltiplos de 21 en Ceuta

Problema 9

Fotografía de Paula Vermeulen, disponible en Unsplash.

Múltiplos de 21 en Ceuta

Problema 9

En el presente artículo abordaremos con sumo detalle un problema propuesto en la convocatoria de oposiciones de Ceuta, de este mismo año 2018, para la especialidad de matemáticas.


Problema 9: Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$, $4^{n+1}+5^{2n-1}$ es un múltiplo de 21.


Para empezar, decimos que un número $m$ es múltiplo de 21 cuando existe un número $k\in\mathbb{Z}$ de manera que podemos escribir $m=21k$. Así, podemos redactar de nuevo el enunciado del ejemplo como sigue: demuestra que, para cada número $n\in\mathbb{N}$, existe un número $k\in\mathbb{Z}$ tal que

$$ 4^{n+1}+5^{2n-1}=21k. $$

Utilicemos el principio de inducción matemática, dado en el teorema 1.1 (ver abajo), para comprobar la anterior identidad. Rápidamente apreciamos que se cumple de manera trivial para $n=1$, puesto que

$$ 4^{1+1}+5^{2-1} = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21, $$

y bastaría entonces que tomásemos $k=1$ para constatar que es múltiplo de 21.

Acto seguido, suponemos cierta la igualdad para un $n\in\mathbb{N}$ dado, con $n\geq 1$, es decir, que efectivamente se cumple que existe un número $k\in\mathbb{Z}$ tal que

$$ 4^{n+1}+5^{2n-1}=21k, $$

y estudiamos si se satisface asimismo para $n+1$. De esta manera, nuestro objetivo será demostrar que existe un $k^\prime\in\mathbb{Z}$ tal que se verifica la siguiente identidad,

$$ 4^{n+2} + 5^{2n+1} = 21k^\prime. $$

Podemos escribir el miembro izquierdo de la ecuación anterior como

$$ 4^{n+2} + 5^{2n+1} = 4\cdot4^{n+1} + 5^{2n+1}, $$

y utilizar, acto seguido, la hipótesis de inducción, que afirma que existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $4^{n+1}+5^{2n-1}=21k$. La clave reside en despejar adecuadamente el término que nos interesa de dicha hipótesis. Así, como $4^{n+1}+5^{2n-1}=21k$, entonces $4^{n+1}=21k - 5^{2n-1}$ y, sustituyendo arriba, tenemos que

$$ \begin{aligned} 4\cdot4^{n+1} + 5^{2n+1} &= 4(21k - 5^{2n-1}) + 5^{2n+1}\\ &= 4\cdot 21k - 4\cdot 5^{2n-1} + 5^{2n+1}\\ &= 4\cdot 21k - 4\cdot 5^{2n-1} + 5^2\cdot5^{2n-1}\\ &= 4\cdot 21k + 5^{2n-1}(5^2-4)\\ &= 4\cdot 21k + 21\cdot5^{2n-1}\\ &= 21(4k + 5^{2n-1})\\ &= 21k^\prime, \end{aligned} $$

con $k^\prime=4k + 5^{2n-1}\in\mathbb{Z}$ y, por tanto, la identidad se verifica para $n+1$. El principio de inducción matemática nos permite concluir que es cierta para cada $n\in\mathbb{N}$.


Teorema 1.1 (Principio de inducción matemática): Sea $S$ un conjunto de enteros positivos que tienen las dos propiedades siguientes:

  • El número 1 pertenece al conjunto $S$.
  • Si un entero $k$ pertenece a $S$, también $k+1$ pertenece a S.

Entonces todo entero positivo pertenece al conjunto $S$.


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Alexis Sáez
Matemático

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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