Fotografía de Paula Vermeulen, disponible en Unsplash.
En el presente artículo abordaremos con sumo detalle un problema propuesto en la convocatoria de oposiciones de Ceuta, de este mismo año 2018, para la especialidad de matemáticas.
Problema 9: Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$, $4^{n+1} + 5^{2n-1}$ es un múltiplo de 21.
Para empezar, decimos que un número $m$ es múltiplo de 21 cuando existe un número $k\in\mathbb{Z}$ de manera que podemos escribir $m=21k$. Así, podemos redactar de nuevo el enunciado del ejemplo como sigue: demuestra que, para cada número $n\in\mathbb{N}$, existe un número $k\in\mathbb{Z}$ tal que
$$ 4^{n+1} + 5^{2n-1}=21k. $$
Utilicemos el principio de inducción matemática, dado en el teorema 1.1 (ver abajo), para comprobar la anterior identidad. Rápidamente apreciamos que se cumple de manera trivial para $n=1$, puesto que
$$ 4^{1+1}+5^{2-1} = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21, $$
y bastaría entonces que tomásemos $k=1$ para constatar que es múltiplo de 21.
Acto seguido, suponemos cierta la igualdad para un $n\in\mathbb{N}$ dado, con $n\geq 1$, es decir, que efectivamente se cumple que existe un número $k\in\mathbb{Z}$ tal que
$$ 4^{n+1}+5^{2n-1}=21k, $$
y estudiamos si se satisface asimismo para $n+1$. De esta manera, nuestro objetivo será demostrar que existe un $k^\prime\in\mathbb{Z}$ tal que se verifica la siguiente identidad,
$$ 4^{n+2} + 5^{2n+1} = 21k^\prime. $$
Podemos escribir el miembro izquierdo de la ecuación anterior como
$$ 4^{n+2} + 5^{2n+1} = 4\cdot4^{n+1} + 5^{2n+1}, $$
y utilizar, acto seguido, la hipótesis de inducción, que afirma que existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $4^{n+1} + 5^{2n-1}=21k$. La clave reside en despejar adecuadamente el término que nos interesa de dicha hipótesis. Así, como $4^{n+1} + 5^{2n-1}=21k$, entonces $4^{n+1}=21k - 5^{2n-1}$ y, sustituyendo arriba, tenemos que
$$ \begin{aligned} 4\cdot4^{n+1} + 5^{2n+1} &= 4(21k - 5^{2n-1}) + 5^{2n+1}\\ &= 4\cdot 21k - 4\cdot 5^{2n-1} + 5^{2n+1}\\ &= 4\cdot 21k - 4\cdot 5^{2n-1} + 5^2\cdot5^{2n-1}\\ &= 4\cdot 21k + 5^{2n-1}(5^2-4)\\ &= 4\cdot 21k + 21\cdot5^{2n-1}\\ &= 21(4k + 5^{2n-1})\\ &= 21k^\prime, \end{aligned} $$
con $k^\prime=4k + 5^{2n-1}\in\mathbb{Z}$ y, por tanto, la identidad se verifica para $n+1$. El principio de inducción matemática nos permite concluir que es cierta para cada $n\in\mathbb{N}$.
Teorema 1.1 (Principio de inducción matemática): Sea $S$ un conjunto de enteros positivos que tienen las dos propiedades siguientes:
- El número 1 pertenece al conjunto $S$.
- Si un entero $k$ pertenece a $S$, también $k+1$ pertenece a S.
Entonces todo entero positivo pertenece al conjunto $S$.
