Empezando con teoría de números (II)

Problema 18

Fotografía de John Salvino, disponible en Unsplash.

Problema 18: Calcula el inverso de $3$ módulo $7$.


El enunciado nos plantea resolver

$$ 3x\equiv 1\pmod{7}. $$

Como $mcd(3,7)=1$, es decir, $3$ y $7$ son coprimos, estamos en condiciones de asegurar que seremos capaces de encontrar el inverso de $3$ módulo $7$, $x$. Para ello, como los números involucrados son pequeños, podemos simplemente optar por emplear la ‘‘cuenta de la vieja’’ y extraer el valor de $x$ por fuerza bruta. Así,

$$ \begin{aligned} 3\cdot 1 &= 3\equiv 3\pmod{7},\\ 3\cdot 2 &= 6\equiv 6\pmod{7},\\ 3\cdot 3 &= 9\equiv 2\pmod{7},\\ 3\cdot 4 &= 12\equiv 5\pmod{7},\\ 3\cdot 5 &= 15\equiv 1\pmod{7}, \end{aligned} $$

luego $x=5$ es el inverso de $3$ módulo $7$.

Alternativamente, podemos llevar a cabo operaciones elementales sobre la propia ecuación de congruencia. Como $2\cdot3=6$, que es un valor muy cercano a $7$, entonces

$$ \begin{aligned} 3x\equiv 1\pmod{7}&\Leftrightarrow 6x\equiv 2\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow -x\equiv 2\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow x\equiv (-2)\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow x\equiv 5\pmod{7}, \end{aligned} $$

arribando así al mismo resultado que antes.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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