Fotografía de Nick Karvounis, disponible en Unsplash.
Problema 19: Calcula el valor de la expresión
$$ (1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3)\pmod{4}. $$
Si tenemos en cuenta que
$$ \begin{aligned} 1\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 1^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 2\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 2^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 3\equiv 3\pmod{4} &\Rightarrow 3^3\equiv 3^3\pmod{4}\equiv 27\pmod{4}\equiv 3\pmod{4},\\ 4\equiv 0\pmod{4} &\Rightarrow 4^3\equiv 0^3\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 5\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 5^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 6\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 6^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$
enseguida atisbamos cómo se repetiría el mismo patrón cada cuatro sumandos. Ahora bien,
$$ \begin{aligned} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3)\pmod{4}&\equiv (1 + 0 + 3 + 0)\pmod{4}\\ &\equiv 4\pmod{4}\\ &\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$
y como en la suma de cubos propuesta en el enunciado del ejercicio hemos de sumar $25$ veces el resultado del patrón anterior, llegamos a que
$$ (1^3 + 2^3 + \cdots+100^3)\pmod{4} \equiv 0\pmod{4}, $$
es decir, la suma de los cubos de los cien primeros números naturales es múltiplo de $4$.
