Empezando con teoría de números (III)

Problema 19

Fotografía de Nick Karvounis, disponible en Unsplash.

Problema 19: Calcula el valor de la expresión

$$ (1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3)\pmod{4}. $$


Si tenemos en cuenta que

$$ \begin{aligned} 1\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 1^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 2\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 2^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 3\equiv 3\pmod{4} &\Rightarrow 3^3\equiv 3^3\pmod{4}\equiv 27\pmod{4}\equiv 3\pmod{4},\\ 4\equiv 0\pmod{4} &\Rightarrow 4^3\equiv 0^3\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 5\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 5^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 6\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 6^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$

enseguida atisbamos cómo se repetiría el mismo patrón cada cuatro sumandos. Ahora bien,

$$ \begin{aligned} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3)\pmod{4}&\equiv (1 + 0 + 3 + 0)\pmod{4}\\ &\equiv 4\pmod{4}\\ &\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$

y como en la suma de cubos propuesta en el enunciado del ejercicio hemos de sumar $25$ veces el resultado del patrón anterior, llegamos a que

$$ (1^3 + 2^3 + \cdots+100^3)\pmod{4} \equiv 0\pmod{4}, $$

es decir, la suma de los cubos de los cien primeros números naturales es múltiplo de $4$.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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