Empezando con teoría de números (IV)

Problema 20: Calcula las reglas de divisibilidad para $3$ y para $9$.

Consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ en base $10$. Sabemos, por el Teorema Fundamental de la Numeración, que podemos expresarlo como

$$a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_1{a}_0=a_0+a_{1}10+\cdots +a_{n-2}{10}^{n-2}+a_{n-1}{10}^{n-1}.$$

Para encontrar el criterio de divisibilidad del $3$ utilizaremos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $10$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ de manera que

$$a_0+a_{1}10+a_2{10}^2+\cdots +a_{n-2}{10}^{n-2}+a_{n-1}{10}^{n-1}\equiv 0(\mathrm{mod}3),$$

esto es, dicho número sea múltiplo de $3$.

Así, como $10\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, fácilmente apreciamos que

$${10}^2\equiv 1^2(\mathrm{mod}3)\equiv 1(\mathrm{mod}3)$$

y, en general, ${10}^i\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, para cada $i\in \mathbb{N}$, por lo que

$$a_0+a_{1}10+\cdots +a_{n-1}{10}^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots +a_{n-1})(\mathrm{mod}3),$$

es decir, el número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ es divisible por $3$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $3$.

Por lo que respecta al criterio de divisibilidad del $9$, el modo de proceder es muy similar al mostrado arriba. Volvemos a buscar una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ de manera que

$$a_0+a_{1}10+a_2{10}^2+\cdots +a_{n-2}{10}^{n-2}+a_{n-1}{10}^{n-1}\equiv 0(\mathrm{mod}9),$$

esto es, dicho número sea múltiplo de $9$. Al igual que antes, como $10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$, se sigue que ${10}^2\equiv 1^2(\mathrm{mod}9)\equiv 1(\mathrm{mod}9)$ y, en general, ${10}^i\equiv 1(\mathrm{mod}9)$, para cada $i\in \mathbb{N}$, por lo que

$$a_0+a_{1}10+\cdots +a_{n-1}{10}^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots +a_{n-1})(\mathrm{mod}9),$$

es decir, el número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ es divisible por $9$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $9$. Expresado de otra manera, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$. Por ejemplo, $162\equiv 0(\mathrm{mod}9)$, ya que $1+6+2=9$ y $9\equiv 0(\mathrm{mod}9)$; mientras que $172\equiv 1(\mathrm{mod}9)$, puesto que $1+7+2=10$ y $10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$.

Nota: es más, el último criterio de divisibilidad hallado se puede generalizar como sigue: ‘'dado un sistema de numeración cuya base $b$ es mayor que $2$, un número es divisible por $b-1$ siempre que la suma de sus dígitos sea congruente con $0$ módulo $b-1$'’.