Empezando con teoría de números (VI)

Problema 22

Fotografía de Denys Nevozhai, disponible en Unsplash.

Problema 22 (Comunidad Valenciana, 2006):

  • a) Halla la base en que $$3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}.$$
  • b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
  • c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
  • d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

Para el apartado a), por el Teorema Fundamental de la Numeración, sabemos que

$$ \begin{aligned} 3753_{(x} &= 3x^0 + 5x^1 + 7x^2 + 3x^3 = 3+5x+7x^2+3x^3,\\ 3586_{(x} &= 6x^0 + 8x^1 + 5x^2 + 3x^3 = 6+8x+5x^2+3x^3,\\ 189_{(x} &= 9x^0 + 8x^1 + 1x^2 = 9+8x+x^2, \end{aligned} $$

por lo que la igualdad planteada en el enunciado es equivalente a:

$$ 3+5x+7x^2 + 3x^3 - (6+8x+5x^2 + 3x^3) = 9+8x+x^2. $$

Operando, esta se convierte en $x^2 - 11x-12=0$, y como

$$ x^2 - 11x-12 = (x-12)(x+1), $$

concluimos que la base del sistema de numeración en la que se satisface la anterior igualdad es $x=12$ ($x=-1$ queda descartada automáticamente pues toda base ha de ser un número natural estrictamente mayor que $1$. Es más, a modo anecdótico, si las soluciones hubiesen sido $x=7$ y $x=12$, también habríamos descartado de forma automática la primera, pues en la expresión de los números implicados en la igualdad hay dígitos mayores o iguales que $7$).

Para el apartado b), consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $12$. Utilizando el mismo resultado anterior, sabemos que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_112+\cdots+a_{n-2}12^{n-1}+a_{n-1}12^{n-1}. $$

De cara a encontrar el criterio de divisibilidad del $11$ emplearemos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $12$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_112+a_212^2+\cdots+a_{n-1}12^{n-1}\equiv 0\pmod{11}. $$

Ahora, como $12\equiv 1\pmod{11}$, fácilmente apreciamos que

$$ 12^2\equiv 1^2\pmod{11}\equiv 1\pmod{11} $$

y, en general, $12^i\equiv 1\pmod{11}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_112+\cdots+a_{n-1}12^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{11}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$, en base $12$, es divisible por $11$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $11$.

En el apartado c), a partir de la condición obtenida arriba, podemos concluir que

  • $3+7+5+3 = 18\equiv 7\pmod{11}$,
  • $3+5+8+6 = 22\equiv 0\pmod{11}$,
  • $1+8+9 = 18\equiv 7\pmod{11}$,

esto es, $3586_{(12}$ es el único número, de entre los tres propuestos, divisible por $11$.

Finalmente, en el apartado d) tenemos que

$$ \begin{aligned} 3753_{(12} &= 3\cdot12^0 + 5\cdot12^1 + 7\cdot12^2 + 3\cdot12^3 \\ &= 5184+1008+60+3 \\ &= 6255_{(10}, \end{aligned} $$

y dividiendo ahora sucesivamente por $9$,

$$ \begin{aligned} 6255 &= 9\cdot 695 + 0,\\ 695 &= 9\cdot 77 + 2,\\ 77 &= 9\cdot 8 + 5, \end{aligned} $$

arribamos a que $6255_{(10} = 8520_{(9}$, de manera que $3753_{(12} = 8520_{(9}$ por la unicidad que nos concede el *Teorema Fundamental de la Numeración*.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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