Empezando con teoría de números (IV)

Problema 20

Fotografía de Chris Lawton, disponible en Unsplash.

Problema 20: Calcula las reglas de divisibilidad para $3$ y para $9$.


Consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $10$. Sabemos, por el Teorema Fundamental de la Numeración, que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_110+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}. $$

Para encontrar el criterio de divisibilidad del $3$ utilizaremos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $10$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{3}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $3$.

Así, como $10\equiv 1\pmod{3}$, fácilmente apreciamos que

$$ 10^2\equiv 1^2\pmod{3}\equiv 1\pmod{3} $$

y, en general, $10^i\equiv 1\pmod{3}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_110+\cdots+a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{3}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ es divisible por $3$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $3$.

Por lo que respecta al criterio de divisibilidad del $9$, el modo de proceder es muy similar al mostrado arriba. Volvemos a buscar una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{9}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $9$. Al igual que antes, como $10\equiv 1\pmod{9}$, se sigue que $10^2\equiv 1^2\pmod{9}\equiv 1\pmod{9}$ y, en general, $10^i\equiv 1\pmod{9}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_110+\cdots+a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{9}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ es divisible por $9$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $9$. Expresado de otra manera, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$. Por ejemplo, $162\equiv 0\pmod{9}$, ya que $1+6+2=9$ y $9\equiv 0\pmod{9}$; mientras que $172\equiv 1\pmod{9}$, puesto que $1+7+2=10$ y $10\equiv 1\pmod{9}$.

Nota: es más, el último criterio de divisibilidad hallado se puede generalizar como sigue: ‘'dado un sistema de numeración cuya base $b$ es mayor que $2$, un número es divisible por $b-1$ siempre que la suma de sus dígitos sea congruente con $0$ módulo $b-1$''.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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