Fotografía de Finding Dan | Dan Grinwis, disponible en Unsplash.
Problema 23: Sea $n$ un número natural. Sea $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n}$.
- a) Demuestra que para todo $n$, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$.
- b) ¿Para qué valores de $n$, $A_n$ es múltiplo de $7$?
- c) Los números en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?
Para el apartado a),
$$ A_{n+3} = 2^{n+3} + 2^{2(n+3)} + 2^{3(n+3)} = 2^{n+3} + 2^{2n+6} + 2^{3n+9}. $$
Ahora bien, aprovechando que $2^3=8\equiv 1\pmod{7}$, tenemos que
$$ A_{n+3} = 2^3\cdot2^n + (2^3)^2\cdot2^{2n} + (2^3)^3\cdot 2^{3n} \equiv (2^n + 2^{2n} + 2^{3n})\pmod{7}, $$
es decir, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$, como queríamos demostrar.
En cuanto al apartado b), teniendo presente el resultado alcanzado en el apartado anterior, estudiemos qué sucede para tres números consecutivos. Por comodidad de cara a los cálculos, tomaremos $1$, $2$ y $3$ como valores para $n$, y así,
$$ \begin{aligned} A_1 &= 2^1+2^2+2^3 = 14\equiv 0\pmod{7},\\ A_2 &= 2^2+2^4+2^6 = 84\equiv 0\pmod{7},\\ A_3 &= 2^3+2^6+2^9 = 584\equiv 3\pmod{7}, \end{aligned} $$
es decir, como $A_{1}$ es múltiplo de $7$ y se satisface la propiedad dada en a), que podemos escribir como $( A_{n + 3} - A_{n} ) \equiv 0 \pmod{7}$, concluimos que $A_{4}$ será múltiplo de $7$ también, así como $A_{7}, A_{10}, A_{13}$ y, en general, los números de la forma $n=3k+1$, con $k\in\mathbb{N}$, sin más que aplicar reiteradamente la citada propiedad. Un argumento similar se podría esgrimir para los números de la forma $n=3k+2$, con $k\in\mathbb{N}$, a la vista del resultado alcanzado para $A_2$. De igual manera, este cauce de pensamiento nos llevaría a descartar que cualquier número de la forma $n=3k$, con $k\in\mathbb{N}$, vaya a ser múltiplo de $7$, ya que $A_3$ no lo es. En conclusión, $A_n$ será múltiplo de $7$ para todos aquellos valores de $n$ que no sean múltiplo de $3$.
Finalmente, en el apartado c), por el Teorema Fundamental de la Numeración, sabemos que podemos escribir
$$ \begin{aligned} 1110_{(2} &= 2^1+2^2+2^3 = A_1,\\ 1010100_{(2} &= 2^2+2^4+2^6 = A_2,\\ 1001001000_{(2} &= 2^3+2^6+2^9 = A_3, \end{aligned} $$
y por lo establecido para el apartado anterior, $A_{1}$ y $A_{2}$ son divisibles por $7$, mientras que $A_{3}$ no lo es. De esta manera, los números $1110_{(2}$ y $1010100_{(2}$ son divisibles por $7$, mientras que $1001001000_{(2}$ no lo es.
