Empezando con teoría de números (VI)

Problema 22 (Comunidad Valenciana, 2006):

• a) Halla la base en que $${3753}_{(x}-{3586}_{(x}={189}_{(x}.$$
• b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
• c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
• d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

Para el apartado a), por el Teorema Fundamental de la Numeración, sabemos que

$$\begin{array}{rl}{3753}_{(x}& =3x^0+5x^1+7x^2+3x^3=3+5x+7x^2+3x^3,\\ {3586}_{(x}& =6x^0+8x^1+5x^2+3x^3=6+8x+5x^2+3x^3,\\ {189}_{(x}& =9x^0+8x^1+1x^2=9+8x+x^2,\end{array}$$

por lo que la igualdad planteada en el enunciado es equivalente a:

$$3+5x+7x^2+3x^3-(6+8x+5x^2+3x^3)=9+8x+x^2.$$

Operando, esta se convierte en $x^2-11x-12=0$, y como

$$x^2-11x-12=(x-12)(x+1),$$

concluimos que la base del sistema de numeración en la que se satisface la anterior igualdad es $x=12$ ($x=-1$ queda descartada automáticamente pues toda base ha de ser un número natural estrictamente mayor que $1$. Es más, a modo anecdótico, si las soluciones hubiesen sido $x=7$ y $x=12$, también habríamos descartado de forma automática la primera, pues en la expresión de los números implicados en la igualdad hay dígitos mayores o iguales que $7$).

Para el apartado b), consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ en base $12$. Utilizando el mismo resultado anterior, sabemos que podemos expresarlo como

$$a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_1{a}_0=a_0+a_{1}12+\cdots +a_{n-2}{12}^{n-1}+a_{n-1}{12}^{n-1}.$$

De cara a encontrar el criterio de divisibilidad del $11$ emplearemos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $12$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$ de manera que

$$a_0+a_{1}12+a_2{12}^2+\cdots +a_{n-1}{12}^{n-1}\equiv 0(\mathrm{mod}11).$$

Ahora, como $12\equiv 1(\mathrm{mod}11)$, fácilmente apreciamos que

$${12}^2\equiv 1^2(\mathrm{mod}11)\equiv 1(\mathrm{mod}11)$$

y, en general, ${12}^i\equiv 1(\mathrm{mod}11)$, para cada $i\in \mathbb{N}$, por lo que

$$a_0+a_{1}12+\cdots +a_{n-1}{12}^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots +a_{n-1})(\mathrm{mod}11),$$

es decir, el número $a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$, en base $12$, es divisible por $11$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $11$.

En el apartado c), a partir de la condición obtenida arriba, podemos concluir que

• $3+7+5+3=18\equiv 7(\mathrm{mod}11)$,
• $3+5+8+6=22\equiv 0(\mathrm{mod}11)$,
• $1+8+9=18\equiv 7(\mathrm{mod}11)$,

esto es, ${3586}_{(12}$ es el único número, de entre los tres propuestos, divisible por $11$.

Finalmente, en el apartado d) tenemos que

$$\begin{array}{rl}{3753}_{(12}& =3\cdot {12}^0+5\cdot {12}^1+7\cdot {12}^2+3\cdot {12}^3\\ & =5184+1008+60+3\\ & ={6255}_{(10},\end{array}$$

y dividiendo ahora sucesivamente por $9$,

$$\begin{array}{rl}6255& =9\cdot 695+0,\\ 695& =9\cdot 77+2,\\ 77& =9\cdot 8+5,\end{array}$$

arribamos a que ${6255}_{(10}={8520}_{(9}$, de manera que ${3753}_{(12}={8520}_{(9}$ por la unicidad que nos concede el *Teorema Fundamental de la Numeración*.