Fotografía de Angel Santos, disponible en Unsplash.
Problema 26: Demuestra que la última cifra decimal de
$$ 2^{2^n} + 1 $$
es $7$, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n>1$.
Para hallar la cifra de las unidades del número
$$ 2^{2^n} + 1, $$
un posible enfoque es estudiar el valor de la congruencia de dicho número módulo $10$. Ahora bien, como $10$ no es un número primo y $mcd(2, 10)=2$, no estamos en condiciones de aplicar ninguno de los resultados teóricos asociados a Fermat. Analicemos, pues, el comportamiento del valor de las congruencias de las potencias de $2$ módulo $10$,
$$ \begin{aligned} 2^1&\equiv 2\pmod{10},\\ 2^2&\equiv 4\pmod{10},\\ 2^3&\equiv 8\pmod{10},\\ 2^4&\equiv 6\pmod{10}. \end{aligned} $$
A la vista de este último valor alcanzado, y teniendo en cuenta el resultado al que pretendemos arribar, bastaría comprobar que, para cada número natural, con $n>1$, $2^n$ es múltiplo de $4$.
Por inducción, para $n=2$, $2^2=4$ que, efectivamente es múltiplo de $4$. Supongamos ahora cierta la afirmación para un número natural dado $n$, con $n\geq 2$, esto es, que existe un número entero $k$ de manera que $2^n=4k$. Sin embargo, $2^{n+1} = 2\cdot 2^n = 2\cdot(4k) = 4\cdot 2k$, es decir, la propiedad asimismo se satisface para $n+1$. El Principio de inducción matemática nos permite concluir que se verifica para cada número natural $n$, con $n\geq 2$.
Por tanto, al ser $2^n\equiv 0\pmod{4}$, entonces
$$ 2^{2^n}\equiv 6\pmod{10}, $$
hecho que se traduce en que
$$ ( 2^{2^n} + 1 )\equiv 7\pmod{10} $$
o, equivalentemente, que, dadas las condiciones impuestas en el enunciado del ejercicio, la cifra de las unidades del número
$$ 2^{2^n} + 1 $$
es $7$.
