Problema 27: Calcula los dos últimos dígitos de $3^{1492}$.
Para encontrar los dos últimos dígitos de $3^{1492}$, un posible enfoque es hallar el valor de su congruencia módulo $100$. El número $100$ no es primo, pero sí que es cierto que $mcd(3, 100)=1$, situación que nos permite hacer uso del Teorema de Euler-Fermat. Este resultado afirma que
$$ 3^{\varphi(100)}\equiv 1\pmod{100}. $$
Ahora bien, como $100 = 2^2\cdot5$, entonces
$$ \varphi(100) = 100\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right) = 100\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5} = 40, $$
y, por tanto, $3^{40}\equiv 1\pmod{100}$. De esta manera, como $1492 = 40\cdot 37 + 12$, podemos escribir
$$ \begin{aligned} 3^{1492} &= 3^{12}\cdot(3^{40})^{37}\\ &\equiv (3^{12}\cdot1^{37})\pmod{100}\\ &\equiv 3^{12}\pmod{100}\\ &\equiv 41\pmod{100}, \end{aligned} $$
sin más que hacer uso de la calculadora para obtener el valor de $3^{12}$.
Alternativamente, para hallar el valor de esta última congruencia, podemos manipular la potencia, $12$, como sigue:
$$ \begin{aligned} 3^{12} &= (3^4)^3\\ &= 81^3\\ &\equiv(-19)^3\pmod{100}\\ &\equiv (-6859)\pmod{100}\\ &\equiv(-59)\pmod{100}\\ &\equiv 41\pmod{100}, \end{aligned} $$
como antes, pudiéndose optar también por estrategias similares del tipo $3^{12} = 3^5\cdot 3^5\cdot 3^2$ o $3^{12} = 3^6\cdot 3^6$, entre otras.
Así, finalmente, los dos últimos dígitos de $3^{1492}$ son $41$.
