Fotografía de Francesco Ungaro, disponible en Unsplash.
Problema 29: Prueba que $437$ es divisor de
- (a) $16^{99} - 1$.
- (b) $18! + 1$.
Para ambos apartados, vamos a aprovechar que $437 = 19\cdot 23$ y, de cara a demostrar que es divisor de los números dados en los apartados (a) y (b), estudiaremos si $19$ y $23$ lo son y, en caso afirmativo, por las propiedades de las congruencias, concluiremos que $437$ los divide.
Para el apartado (a), como $19$ es un número primo y $mcd(16,19)=1$, entonces, por el Pequeño Teorema de Fermat, $16^{18}\equiv 1\pmod{19}$. Ahora, como $99 = 18\cdot5 + 9$, entonces
$$ \begin{aligned} 16^{99} &= 16^9\cdot(16^{18})^5\\ &\equiv (16^9\cdot 1^{18})\pmod{19}\\ &\equiv 16^9\pmod{19}\\ &\equiv 4^{18}\pmod{19}, \end{aligned} $$
pero como $mcd(4,19)=1$, aplicando de nuevo el resultado anterior, $4^{18}\equiv 1\pmod{19}$, luego
$$ ( 16^{99} - 1 )\equiv (1 - 1)\pmod{19}\equiv 0\pmod{19}, $$
esto es, $16^{99}-1$ es múltiplo de $19$. De manera similar, como $23$ es un número primo y $mcd(16,23)=1$, por el mismo teorema que antes sabemos que $16^{22}\equiv 1\pmod{23}$, y como $99=22\cdot4+11$, tenemos que
$$ \begin{aligned} 16^{99} &= 16^{11}\cdot(16^{22})^4\\ &\equiv (16^{11}\cdot 1^4)\pmod{23}\\ &\equiv 16^{11}\pmod{23}\\ &\equiv 4^{22}\pmod{23}, \end{aligned} $$
y utilizando la estrategia previa, como $mcd(4,23)=1$, sabemos que $4^{22}\equiv 1\pmod{23}$. Así,
$$ ( 16^{99} - 1 )\equiv (1 - 1)\pmod{23}\equiv 0\pmod{23}, $$
es decir, $16^{99} - 1$ es múltiplo de $23$ y, por las propiedades de las congruencias, será asimismo múltiplo de $19\cdot23=437$.
Para el apartado (b), como $19$ es un número primo, aplicando el Teorema de Wilson, $18!\equiv (-1)\pmod{19}$, luego
$$ ( 18! + 1 )\equiv (-1+1)\pmod{19}\equiv 0\pmod{19}, $$
esto es, $18!+1$ es múltiplo de $19$. Por otro lado, $23$ es asimismo un número primo, de manera que utilizando de nuevo el resultado anterior, $22!\equiv (-1)\pmod{23}$. Ahora bien, $22! = 22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18!$ y como $22\equiv (-1)\pmod{23}$, $21\equiv (-2)\pmod{23}$, $20\equiv (-3)\pmod{23}$ y $19\equiv (-4)\pmod{23}$, llegamos a que
$$ \begin{aligned} 22! &= (22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18!)\\ &\equiv ((-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv (24\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv (1\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv 18!\pmod{23}, \end{aligned} $$
y juntando ambos resultados, concluimos que $18!\equiv (-1)\pmod{23}$, luego
$$ ( 18! + 1 )\equiv ( -1 + 1 )\pmod{23}\equiv 0\pmod{23}, $$
es decir, $18!+1$ es múltiplo de $23$, y como también lo era de $19$, concluimos que asimismo lo será de $19\cdot23=437$.
