Fotografía de Adrien Olichon, disponible en Unsplash.
Problema 30: Sea $n$ un número natural no nulo. Dado el conjunto de fracciones
$$ A_n = \left\{\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},\dfrac{3}{n},\ldots,\dfrac{n}{n}\right\}. $$
Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de dichas fracciones.
Acompañemos la resolución de este ejercicio con un caso particular para $n$, con el objetivo de que esta sea así más ilustrativa. Por ejemplo, si $n=8$, el conjunto de fracciones a estudiar es
$$ A_8 = \left\{\dfrac{1}{8},\dfrac{2}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{8},\dfrac{5}{8},\dfrac{6}{8},\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{8}\right\}, $$
que contiene $4$ fracciones irreducibles,
$$ \left\{\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{5}{8},\dfrac{7}{8}\right\}. $$
Estas se caracterizan por ser aquellas en las que numerador y denominador son coprimos. Así pues, el problema se reduce a encontrar, dado un número natural $n$ no nulo, la cantidad de enteros positivos menores o iguales a $n$ y coprimos con $n$, esto es, $\varphi(n)$.
En nuestro caso concreto, para $n=8=2^3$, efectivamente,
$$ \varphi(8) = 8\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 8\cdot\dfrac{1}{2} = 4. $$
Por tanto, recapitulando, dado $n$ un número natural no nulo, la cantidad de fracciones irreducibles que figuran en el conjunto $A_n$ es igual a $\varphi(n)$.
Para calcular su suma, si volvemos a centrar nuestra atención en el caso particular de $n=8$, tenemos que
$$ \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8} = 1,\qquad \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = 1, $$
esto es, podemos agrupar las fracciones irreducibles de dos en dos, de manera que su suma es $1$. Efectivamente, haciendo uso del Teorema 1.9 de [1], sabemos que, dados dos números enteros $a$ y $b$, para cualquier número entero $x$ se cumple que
$$ mcd(a,b) = mcd(b,a) = mcd(a,-b) = mcd(a,b+ax). $$
Considerando ahora un número natural $k<n$ coprimo con $n$, se tiene que $mcd(k,n)=1$, y basta tomar en el resultado anterior $a=n$, $b=(-k)$ y $x=1$ para deducir que $1 = mcd(n,k) = mcd(n,(-k))= mcd(n,n-k)$ y, así, concluimos que si la fracción $k / n$ es irreducible, asimismo lo es $(n - k) / n$. Además, trivialmente
$$ \dfrac{k}{n} + \dfrac{n-k}{n} = 1. $$
Por tanto, aplicando el resultado alcanzado, la suma de las fracciones irreducibles del conjunto $A_n$ será
$$ S = \dfrac{\varphi(n)}{2}, $$
quedando resuelto así el ejercicio.
Referencias
- [1] Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman y Hugh L. Montgomery. An Introduction to the Theory of Numbers. 5ª edición. New York, United States: Wiley, 1991. ISBN: 9780471625469.
