Mezclando cuadrados y ecuaciones diofánticas

Problema 55

Fotografía de Len Roth, disponible en Unsplash.

Problema 55: Halla un cuadrado de cinco cifras que sea igual a cinco veces otro cuadrado, más uno.


El enunciado del ejercicio nos lleva a plantear la ecuación $x^2 = 5y^2 +1$, equivalente a $x^2 -5y^2 =1$, ecuación de Pell que sabemos posee infinitas soluciones en los enteros al no ser $5$ un cuadrado perfecto. Por tanteo, hallamos la solución particular $x=9$ e $y=4$, ya que $9^2 - 5\cdot4^2 =1$. Expresamos ahora la diferencia de cuadrados como producto de una suma y una diferencia, de forma que

$$ 9^2 - 5\cdot4^2 =1 \Leftrightarrow (9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 1. $$

Análogamente, la sucesión de soluciones enteras, que denotaremos por $(x_n,y_n)$, debe cumplir que $(x_n+y_n\sqrt{5})(x_n-y_n\sqrt{5})=1$. Expresamos la solución general utilizando recurrencias, de manera que,

$$ \begin{aligned} x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{5} &= (x_n + y_n\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})\\ &= 9x_n + 4\sqrt{5}x_n + 9\sqrt{5}y_n + 20y_n, \end{aligned} $$

luego

$$ \begin{aligned} x_{n+1} &= 9x_n + 20y_n,\\ y_{n+1} &= 4x_n + 9y_n. \end{aligned} $$

Utilizando notación matricial,

$$ \begin{bmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 20\\ 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_n\\ y_n \end{bmatrix}, $$

con $(x_1,y_1) = (9,4)$. La solución particular hallada no cumple los requisitos impuestos en el enunciado del ejercicio, por lo que procederemos a obtener la siguiente.

$$ \begin{bmatrix} x_2\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 20\\ 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 161\\ 72 \end{bmatrix}, $$

que es la solución que estamos persiguiendo, pues $161^2 = 25921 = 5\cdot72^2+1$.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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