Enunciados propuestos (XXVI)

Aparece el último teorema de Fermat

Fotografía de pixpoetry, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Halla un número de seis cifras que es igual a las seis últimas cifras de su cuadrado.


Ejercicio 2: Halla dos números enteros tales que la suma de sus cuadrados es el doble de su suma.


Ejercicio 3: Prueba que existen cuadrados de la forma $1 + 2 ^ {x^2} + 2 ^ {y^2}$.


Ejercicio 4: Sean $a$, $b$ y $c$ números naturales distintos.

  • (a) Halla un conjunto infinito de soluciones de la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 = 2c(a + b)$.
  • (b) Demuestra que, si $a<b<c$, la ecuación $a^3 - c^3 + b^3 = 3b(a - c)(a + c - b)$ no tiene solución.

Ejercicio 5: Halla las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas:

  • (a) $2x^2 + x - 3y = 7$.
  • (b) $x^2 + x + 2y = 3$.
  • (c) $x^2 + x + 3y = 2$.

Ejercicio 6: Dada la matriz

$$ \begin{aligned} A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{aligned} $$

  • (a) Halla las sucesivas potencias de $A$.
  • (b) Si $B = I + A$, expresa $B^n$ en función de $I$, $A$ y $A^2$.
  • (c) Demuestra que la inversa de $B$ es $I - A + A^2$.
  • (d) Expresa $B^{-n}$ en función de $I$, $A$ y $A^2$.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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