Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: Halla un número de seis cifras que es igual a las seis últimas cifras de su cuadrado.
Ejercicio 2: Halla dos números enteros tales que la suma de sus cuadrados es el doble de su suma.
Ejercicio 3: Prueba que existen cuadrados de la forma $1 + 2 ^ {x^2} + 2 ^ {y^2}$.
Ejercicio 4: Sean $a$, $b$ y $c$ números naturales distintos.
- (a) Halla un conjunto infinito de soluciones de la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 = 2c(a + b)$.
- (b) Demuestra que, si $a<b<c$, la ecuación $a^3 - c^3 + b^3 = 3b(a - c)(a + c - b)$ no tiene solución.
Ejercicio 5: Halla las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas:
- (a) $2x^2 + x - 3y = 7$.
- (b) $x^2 + x + 2y = 3$.
- (c) $x^2 + x + 3y = 2$.
Ejercicio 6: Dada la matriz
$$ \begin{aligned} A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{aligned} $$
- (a) Halla las sucesivas potencias de $A$.
- (b) Si $B = I + A$, expresa $B^n$ en función de $I$, $A$ y $A^2$.
- (c) Demuestra que la inversa de $B$ es $I - A + A^2$.
- (d) Expresa $B^{-n}$ en función de $I$, $A$ y $A^2$.
