Enunciados propuestos (X)

¡Partiendo pasteles!

Fotografía de Gloria Madroñal, disponible en Instagram.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Para cada entero no negativo n, se considera

P(n)=n77+n33+11n21.

  • (a) Demuestra que 3n7+7n3+11n=0 en Z3 y en Z7.
  • (b) Demuestra que P(n) es un número entero.

Ejercicio 2: Dado un número primo p7, prueba que el número 111111 (formado por p1 unos) es divisible por p.


Ejercicio 3: Sea n un número natural y el conjunto de fracciones

An={1n,2n,,nn}.

Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de estas.


Ejercicio 4: Calcula el menor número natural n tal que se cumpla que

n4(mod5),n3(mod7),n1(mod9).


Ejercicio 5: (Comunidad Valenciana (2016)) Con un solo corte recto puedes dividir un pastel circular en dos partes. Un segundo corte, que atraviese al primero, producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes. ¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y, en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?


Ejercicio 6: En una ciudad, el 55 de sus habitantes consume aceite del tipo A, el 30 del tipo B y el 20 de ambos tipos de aceite. Se escoge una persona al azar.

  • (a) Si esta consume aceite del tipo A, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también del tipo B?
  • (b) Si consume del tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma del tipo A?
  • (c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma aceite del tipo A ni del tipo B?

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

Relacionado