Enunciados propuestos (XXV)

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.

Ejercicio 1: Halla la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador $3$ comprendidas entre $3$ y $6$. Generaliza el resultado para la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador $3$ comprendidas entre los enteros $m$ y $n$, con $m<n$.

Ejercicio 2: Demuestra que $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$ es un número entero.

Ejercicio 3: Los lados de un rectángulo vienen dados por números naturales. ¿Cuál será la longitud de dichos lados para que el perímetro y la superficie de dicha figura se expresen con el mismo número?

Ejercicio 4: Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que sus lados miden un número entero de centímetros, pero no un número entero de palmos; y que su área, expresada en palmos cuadrados, es igual a su perímetro, expresado en palmos lineales. Considera que un palmo equivale a $20$ centímetros.

Ejercicio 5: (Extremadura (2018)) En su último viaje a Estados Unidos, el señor Martínez cambió un cheque de viaje. El cajero, al pagarle, confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El señor Martínez gastó $68$ centavos en sellos y comprobó que el dinero que le quedaba era el doble del importe del cheque de viaje que había cambiado. ¿Qué valor mínimo tenía el cheque de viaje?

Ejercicio 6: (Galicia (2018)) Una persona ha comprado entradas para el cine para personas adultas por un precio de $640$ u. m. cada una y para menores de edad a $330$ u. m. Sabiendo que invirtió $7140$ u. m. y que compró menos entradas de adultos que de menores, halla el número de entradas que adquirió.