Múltiplos de 21 en Ceuta (versión congruencias)

Múltiplos de 21 en Ceuta (versión congruencias)

Problema 10: Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$, $$4^{n+1}+5^{2n-1}$$ es un múltiplo de 21.


Aunque ya planteamos, hace un par de días, la resolución de este enunciado empleando el principio de inducción matemática en el Problema 9, vamos a darle aquí un enfoque alternativo a dicha resolución utilizando la teoría de congruencias.

Para empezar, para cada $n\in\mathbb{N}$, $4^{n+1}+5^{2n-1}$ es un entero mayor o igual que 21 y será múltiplo de este último siempre que $$ 4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{21}. $$

Ahora bien, como $21=3\cdot 7$ y $mcd(3,7)=1$, demostrar la expresión anterior equivale a probar que las expresiones $$ 4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{3} $$ y $$ 4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{7}, $$ se satisfacen conjuntamente, ya que sabemos, por las propiedades de las congruencias, que dados $n,m\in\mathbb{N}$ fijos y $a,b\in\mathbb{Z}$, si $a\equiv b \pmod{n}$, $a\equiv b \pmod{m}$ y $mcd(n,m)=1$, entonces $a\equiv b \pmod{nm}$.

Así pues, si tenemos en consideración que $4\equiv 1 \pmod{3}$ y $5\equiv (-1) \pmod{3}$, entonces, para cada $n\in\mathbb{N}$, $$ \begin{aligned} 4^{n+1}+5^{2n-1} &\equiv (1^{n+1} + (-1)^{2n-1}) \pmod{3}\\ &\equiv (1-1) \pmod{3}\\ &\equiv 0 \pmod{3}, \end{aligned} $$ quedando así una demostrada. Para verificar la restante tengamos en cuenta que $5\equiv (-2) \pmod{7}$ y así, para cada $n\in\mathbb{N}$, $$ \begin{aligned} 4^{n+1} + 5^{2n-1} &= 2^{2(n+1)} + 5^{2n-1}\\ &= 2^{2n+2} + 5^{2n-1}\\ &= 2^32^{2n-1} + 5^{2n-1}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} + (-2)^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} + (-1)^{2n-1}2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} - 2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv ((2^3-1)2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv 7\cdot 2^{2n-1} \pmod{7}\\ &\equiv 0 \pmod{7}. \end{aligned} $$

Por tanto, podemos concluir que, para cada $n\in\mathbb{N}$, $4^{n+1}+5^{2n-1}$ es un múltiplo de 21.

P. S. (acerca de la imagen de cabecera): la fotografía de Raphaël LR, disponible en Unsplash, la ha escogido otra persona al azar para que haga las veces de imagen de cabecera. Si normalmente poca relación con el cuerpo de la entrada tienen, hoy habremos batido alguna especie de récord al respecto.


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