Fotografía de John Westrock, disponible en Unsplash.
Problema 45:
- (a) Sea $c$ un número entero positivo tal que $10\leq c\leq 100$. ¿Cuál es el valor mínimo de $c$ para el cual la ecuación $84x+990y=c$ admite solución entera?
- (b) Un hombre compra caballos y vacas, pagando $1770$ euros. Una vaca cuesta $21$ euros y un caballo $31$ euros. ¿Cuántos caballos y vacas ha comprado?
Para el apartado (a), como
$$ \begin{aligned} 84 &= 2^2 \cdot3\cdot7,\\ 990 &= 2\cdot 3^2 \cdot5\cdot11, \end{aligned} $$
entonces $mcd(84, 990) = 6$. Para que la ecuación diofántica planteada admita soluciones enteras, $6$ ha de dividir a $c$ y como buscamos el valor mínimo de $c$, nuestra tarea se reduce pues a encontrar el primer múltiplo de $6$ que pertenezca al intervalo $[10,100]$. La solución será, por tanto, $c=12$.
En cuanto al apartado (b), consideremos $x$ el número de vacas compradas e $y$ el total de caballos adquiridos. Dados sus respectivos precios y el importe total desembolsado, planteamos la ecuación diofántica
$$ 21x + 31y = 1770. $$
Como $mcd(21,31) = 1$ y $1|1770$, estamos en condiciones de asegurar que la anterior ecuación diofántica admite solución entera. Para aliviar cálculos, empecemos llevando a cabo el cambio de variable
$$ \begin{aligned} x &= 1770x^{\prime},\\ y &= 1770y^{\prime}, \end{aligned} $$
con lo cual queda $21x^{\prime} + 31y^{\prime} = 1$. Despejando ahora la variable $x^{\prime}$,
$$ \begin{aligned} x^{\prime} = \dfrac{1-31y^{\prime}}{21} = -y^{\prime} + \dfrac{1 - 10y^{\prime}}{21} = -y^{\prime} + x^{\prime\prime}, \end{aligned} $$
con
$$ x^{\prime\prime} = \dfrac{1-10y^{\prime}}{21}, $$
es decir, $21x^{\prime\prime} = 1-10y^{\prime}$, y despejando ahora la variable $y^{\prime}$,
$$ y^{\prime} = \dfrac{1-21x^{\prime\prime}}{10}, $$
ecuación para la que, por tanteo, rápidamente observamos que si $x^{\prime\prime} = 1$, entonces $y^{\prime} = (-2)$. Deshaciendo ahora los cambios de variable realizados,
$$ \begin{aligned} x^{\prime} &= -y^{\prime} + x^{\prime\prime} = 2 + 1 = 3,\\ x &= 1770x^{\prime} = 1770\cdot3 = 5310,\\ y &= 1770y^{\prime} = 1770\cdot(-2) = -3540, \end{aligned} $$
llegamos a una solución particular de la ecuación diofántica propuesta. Así, su solución general queda
$$ \begin{aligned} x &= 5310 + 31t,\\ y &= (-3540) - 21t, \end{aligned} $$
con $t$ número entero. El número de animales que ha comprado de cada clase ha de ser, necesariamente, mayor o igual que cero, por lo que planteamos las inecuaciones,
$$ \begin{aligned} 5310 + 31t &\geq 0\Rightarrow t\geq -\dfrac{5310}{31} = -171.29,\\ -3540-21t &\geq 0\Rightarrow t\leq -\dfrac{3540}{21} = -168.57. \end{aligned} $$
Como $t$ ha de ser entero, concluimos que $-171\leq t\leq -169$. Por tanto,
| $t$ | $x$ (vacas) | $y$ (caballos) |
|---|---|---|
| $-171$ | $9$ | $51$ |
| $-170$ | $40$ | $30$ |
| $-169$ | $71$ | $9$ |
Siendo así la posible respuesta, al interrogante planteado en el enunciado del ejercicio, cualquiera de las anteriores tres posibilidades.
